Mander 本构模型
在杆系混凝土有限元分析中，应该如何考虑箍筋对受压构件截面核心区混凝土的约束作用呢？直接在模型中建立箍筋的方法显然是不经济的，可以通过混凝土的应力-应变全曲线方程来反应箍筋的作用，即采用约束混凝土本构模型。

下面主要介绍Mander 等提出的约束混凝土模型，它既适用圆形箍筋，也适用矩形箍筋。

如下图所示，它基于Popovics （1973）提出的方程，适合于低应变率（准静态）和循环加载。

著名的截面分析软件XTRACT 即采用此模型。

受压区
f c =xrf cc
′
r −1+x r
其中，f cc ′
为约束混凝土强度（将在后面定义）
x =
εc εcc
其中，εc 为混凝土的纵向压应变：
εcc =εco [1+5(
f cc
′f co
′
−1)]
其中，f co ′和εco 为对应未约束混凝土的抗压强度和峰值应变，可取，εco =0.002. r =
E c E c −E sec
，
其中E c =5000√f c ′
(Mpa)为混凝土的切线模量（ACI ）规范 E sec =f cc
′
εcc
为混凝土的割线模量。

对于保护层混凝土，假定其应力-应变曲线在ε>2εcc 后为直线，应力在剥落应变εsp 处减小
为零。

混凝土的压缩应变εcu 可按下式计算，
εcu =0.004+1.4εsu ρ′
f y f cc
′
其中，εsu 为箍筋拉断时的应变； ρ′为箍筋的体积配筋率； f y 为箍筋的屈服强度；
约束混凝土强度的确定分两个步骤： （1） 有效约束压力与有效约束系数 在相邻箍筋间的各个截面上，约束压力的大小是不同的，中间截面最小，箍筋所在截面最大。

为简化计算，假设核心区混凝土表面的约束压力均匀分布，于是通过对钢筋和核心区混凝土的隔离体建立静力平衡方程，可以求得此均布压力， 圆形截面：f l
′
=1
2k e ρs f yℎ
矩形截面：f lx ′
=k e ρx f yℎ f ly ′
=k e ρy f yℎ
其中，f yℎ为箍筋的屈服强度；ρs ，ρx ，ρy 分别为圆形截面，矩形截面x 方向、矩形截面y 方向体积配箍率。

对于有效约束应力f l ′
，
f l
′
=f l k e
其中，k e =A
e A cc
,为有效约束系数；
A c 为截面核心区混凝土的有效约束面积，取相邻箍筋中间截面（此外约束面积最小）；
A cc =A c (1−ρcc )
A c 为箍筋中心线起算的截面核心区混凝土面积； ρcc 为核心区纵筋配筋率； （2） 约束应力比
当截面的两个方向有效约束力相同（圆形截面及方形截面）时，
f cc
′f c0
′
=2.254√1+
7.94f l ′
f c0
′
−2
f l
′f c0
′
−1.254
当截面两个方向有效约束力不同（矩形截面）时，按下表确定。