Sy为估计标准差：
sy
( yt yˆt )2 n2
点预测与置信区间预测（续）
当n30时，置信区间可取为：
yˆt0 t (n 2)sy
2
点预测与置信区间预测（续）
折扣最小二乘法的与预测置信区间为：
yˆt0 t (n 2)sy 2
1 1 n
(t0 t )2
nt (t t )2
常用的有二次曲线模型和三次曲线模型：
二次曲线模型： yˆt b0 b1t b2t 2 三次曲线模型： yˆt b0 b1t b2t 2 b3t3
多项式曲线模型识别
二次曲线模型的特点：二阶差分为一个 常数。
三次曲线模型的特点：三阶差分为一个 常数。
识别方法：差分分析法。 预测模型的参数估计：最小二乘法。
yt
)
a y bln t
双曲线模型
双曲线模型的一般形式为：
yˆt
ab或 t
1 yˆt
ab t
双曲线模型的参数估计
双曲线模型的参数估计公式为：
b
n
yt
.1 t
n
1 t2
(1t )( yt
(
1) t
2)ay源自b(1 n1) t
有增长上限的曲线趋势模型预测法
修正指数曲线模型预测法
S形曲线模型预测法
指数模型的识别：
阶差识别法 指数曲线模型的特点是一次比率为一个常数
指数曲线模型的参数估计
指数曲线模型的参数估计公式：
b
nt ln yt t (ln nt2 (t)2
yt
)
a
e
1 n
ln
yt
bt
幂函数曲线模型
幂函数曲线模型的一般形式为：
yˆt atb
幂函数曲线模型的参数估计
龚珀兹曲线模型 皮尔（逻辑斯蒂）曲线模型
修正指数曲线模型预测法
将指数方程右边增加一个常数k，得到的 方程为修正指数方程，其模型如下：
yˆt k abt或yˆt k aebt
修正指数曲线模型的识别
散点图识别
差分识别
修正指数曲线模型的一阶差分的环比为一个 常数。
修正指数曲线模型的参数估计
直线趋势模型的参数估计
1、最小二乘法：是观测值和估计值之间 的误差平方和达到最小，从而得到参数a 和b的估计值。
2、折扣最小二乘法：对误差平方进行指 数折扣加权，使其总和达到最小。
最小二乘法
n
n
Q ( yt yˆt )2 ( yt a bt)2
t 1
t 1
b
ntY nt 2
tY
1）将时间序列分成三个相等的部分，每一 部分包括n个数据。
2）求出每一部分的和。根据趋势值的三个 局部总数分别等于原资源的三个局部总数的 思想可以分别得到三个等式：
修正指数曲线模型的参数估计(续)
S1
n t 1
yt
nk ab bn 1 b 1
S2
2n
yt
t n1
nk
abn1
bn 1 b 1
二次曲线模型参数估计方程组
应用最小二乘法可得三元一次现行方程 组：
yt nb0 b1 t b2 t 2 tyt b0 t b1 t 2 b2 t 3
t 2 yt b0
t 2 b1
t 3 b2
t4
指数曲线模型
指数曲线模型的一般形式：
yˆt aebt或yˆt abt
其中，标准误差为：
sy
nt ( yt yˆt )2
n2
可线性化的曲线趋势模型预测法
1、多项式曲线模型 2、指数曲线模型 3、幂函数曲线模型 4、对数曲线模型 5、双曲线模型
多项式曲线模型
多项式曲线模型的一般形式为：
yˆt b0 b1t b2t2 ... bpt p (bp 0)
置信区间预测：给定一个置信度1-a，得 到经济变量在估计值上下变动的范围称 为置信区间预测。
yˆt0 t (n 2)sy 2
1 1 n
(t0 t )2 (t t )2
点预测与置信区间预测（续）
置信区间预测计算公式为：
yˆt0 t (n 2)sy 2
1 1 n
(t0 t )2 (t t )2
t 2
a Y bt
修改时间变量t的取值，估计式可简化为:
b
tyt t 2
a y
折扣最小二乘法
最小二乘法存在一个缺陷：对近期误差 与远期误差同等看待。实际上，近期误 差比远期误差对预测的影响更大。
折扣最小二乘法对误差平方进行折扣加 权，使其总和达到最小。
n
Q nt ( yt yˆt )2 min t 1
第四章 曲线趋势预测法
曲线趋势预测法
直线趋势模型预测法 曲线趋势模型预测法
直线趋势模型
直线趋势模型：
yˆt a bt
模型表示：当时间每过一个时期，观测值都 有等量的增加或减少。
直线趋势模型的识别
1、散点图识别法 2、阶差识别法
yˆt yˆt yˆt1 (a bt) [a b(t 1)] b
幂函数曲线模型的参数估计公式：
b
n ln yt.ln t ( ln t) (ln n (ln t)2 ( ln t)2
yt
)
a eln yt bln t
对数曲线模型
对数曲线模型的一般形式：
yˆt a b ln t
对数曲线模型的参数估计
对数曲线模型的参数估计公式为：
b
n yt ln t ( ln t) (ln n (ln t)2 ( ln t)2
折扣系数a要求：0<a<1
折扣最小二乘法（续）
折扣最小二乘法参数估计方程：
n
n
n
nt yt a nt b ntt
t 1
t 1
t 1
n
n
n
nttyt a ntt b ntt 2
t 1
t 1
t 1
点预测与置信区间预测
点预测：将样本范围所取t带入预测模型 所得到的估计值即为经济变量的点预测 值。
1.曲线的增长上限K为已知时，可对其线 性化，采用最小二乘法顾及其余的两个 参数。
a
eY bt n ty t
y
b e n t2 ( t)2
修正指数曲线模型的参数估计(续)
2.当K、a、b三个参数均为未知时，模型 无法线性化，此时常用三和法进行参数 的估算。
三和法估计模型参数的基本步骤：
S3
3n
yt
t 2n1
nk ab2n1
bn 1 b 1
3）根据三个等式联立求解，可求出三个未
知数k,a,b的估计公式：
修正指数曲线模型的参数估计(续)
b n
S3 S2 S2 S1
a
(S2
S1 )
b (bn
