.
二次根式
知识点一：二次根式的概念 【知识要点】
二次根式的定义：形如
非负数时， 才有意义．
【典型例题】
的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个
【例 1】下列各式 1） 1 , 2) 5,3) x2 2, 4) 4,5) ( 1)2 , 6) 1 a, 7) a2 2a 1 ，
5
3
其中是二次根式的是_________（填序号）．
解题思路：式 子
a
（a≥0），
x 5
5 x
0 0
,
x 5 ，y=2009，则 x+y=2014
举一反三：
1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 x－y 的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若 x、y 都是实数，且 y= 2x 3 3 2x 4 ，求 xy 的值
3、当 a 取什么值时，代数式 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。
经常用到．
2. ( a )2 a(a 0) ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以
把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a )2 (a 0)
3.
a2
a(a 0) |a| a(a 0)
算术平方根代替． .
注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的
(B) 1
(C) 2a－7
(D) 7－2a
2
5、化简 4x2 4x 1 2x 3 得（
）
（A） 2 （B） 4x 4 （C）－2 （D） 4x 4
a2 2a 1
6、当 a＜l 且 a≠0 时，化简 a 2 a ＝
．
4 (a 1)2 4 (a 1)2
7、已知 a 0 ，化简求值：
.
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是 负的，应把负号留在根号外．
4. 公式
a2
|
a|
a(a 0) a(a 0)
与
(
a )2 a(a 0) 的区别与联系
（1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．
.
.
3 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为
（公式
a2
a
a(a a(a
0) 0)
的应用）
【例 6】已知 x 2 ,则化简 x2 4x 4 的结果是
A、 x 2
B、 x 2
C、 x 2
举一反三：
D、 2 x
1、根式 (3)2 的值是( )
A．-3
B．3 或-3
（
）
.
b ao
a
1 0 1 2
.
（A）x 为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数 2 ，则 a 的取值范围是（ ）
Ａ． a≥ 4 Ｂ． a ≤ 2
Ｃ． 2≤a ≤4
Ｄ． a 2 或 a 4
【例 9】如果 a a 2 2a 1 1 ，那么 a 的取值范围是（
A、x>3
B、x≥3
C、 x>4
D 、x≥3 且 x≠4
x 2、使代数式 2 2x 1 有意义的 x 的取值范围是
3、如果代数式 m 1 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ） mn
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
.
.
【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y=
）
A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果 a a2 6a 9 3成立，那么实数 a 的取值范围是（ ） A.a 0B.a 3; C.a 3; D.a 3
a
a
【例 7】如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│
+ (a b)2 的结果等于（ ）
A．－2b
B．2b
C．－2a D．2a
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简：
a 1 (a 2)2 ______ ．
【例 8】化简 1 x x2 8x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是
C．3
D．9
2、已知 a<0，那么│ a2 －2a│可化简为（ ）
A．－a
B．a
C．－3a
D．3a
3、若 2 a 3，则 2 a2 a 32 等于（ ）
A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 1
4、若 a－3＜0，则化简 a2 6a 9 4 a 的结果是（
）
(A) －1
A．3
B．– 3 C．1
D．– 1
3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足｜x2－4｜＋ y 2 5y 6 ＝0，则第三边长为
＿＿＿＿＿＿.
4、若 a b 1 与 a 2b 4 互为相反数，则 a b 2005 _____________ 。
（公式 ( a )2 a(a 0) 的运用）
（3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
【例 4】若 a 2 b 3 c 42 0，则 a b c
．
举一反三：
1、若 m 3 (n 1)2 0 ，则 m n的值为
。
2、已知 x, y 为实数，且 x 1 3y 22 0 ，则 x y 的值为（ ）
【例 5】 化简： a 1 ( a 3)2 的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
x 1 在实数范围内分解因式: 2 3 =
； m4 4m2 4 =
x4 9 __________, x2 2 2x 2 __________
2 化简： 3 3 1 3
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A、 a B、 10 C、 a 1
a D、 2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、在 a 、 a2b 、 x 1 、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有______个
【例 2】若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x3
．[来源:学*科*网 Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（ ） x4
已知 a 是 5 整数部分，b 是 5 的小数部分，求 a 1 的值。 b2
若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
。
若
17
的整数部分为
x，小数部分为
y，求
x2
1 y
的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性： a (a 0) 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中