第五章多元分布基础前面所介绍的统计分析分法（除方差分析、回归分析），大多是适用于一个变量的总体，一般称为一元统计分析方法。

但在许多实际问题如在工农业生产（提高产品质量、降低成本、提高农作物产量及改进品种等），国民经济和科学研究领域（经济管理、金融、气象、地质、生物、医学、航天技术等）中，常常要处理多个变量的观测数据，即要研究多维随机变量的分布、数字特征及变量间的关系。

如果仍用一元统计方法分别对每一个变量进行分析，这样往往忽视了各方面之间存在的相关性，一般来说会丢失很多信息，分析的结果不能客观全面地反映情况.如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律性的数学方法，那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的数学方法。

多元统计分析方法是以概率论、线性代数及一元统计方法为基础的数理统计学的一个分支。

随着计算机的发展，特别是统计软件的应用，多元统计分析方法才被广泛的应用到解决实际问题中，本身也得到了迅猛的发展。

5.1多元分布一、多元分布的概念 1. 分布函数定义5.1.1设)',,,(21p X X X =X 是一随机向量，它的（多元）分布函数是)(x F =),,,(21p x x x F =),,(11p p x x P ≤≤X X （5.1.1）式中，),,,('21p x x x x =p R ∈，并记成X ～),,,(21p x x x F多元分布函数的性质：Ⅰ),,,(21p x x x F 是每个变量x i （i =1,…, p ）的非降右连续函数； Ⅱ1),,,(021≤≤p x x x F ；Ⅲ=-∞),,,(2p x x F ==-∞ ),,,(1p x x F ),,,(21-∞ x x F =0； Ⅳ1),,,(=∞∞∞ F 。

本章主要对连续型的多元分布进行讨论，离散型的的多元分布常用的有如：多项式分布、多元超几何分布。

2.两个常用的离散性多元分布（1）多项分布 （2）多元超几何分布3．多元分布密度函数定义5.1.2设X ～),,,(21p x x x F ,若存在一个非负的函数)(∙f ,使得p x x p p dt dt t t t f x x x F p121211),,,(),,,(⎰⎰∞-∞-=（5.1.2）对一切∈R P 成立，则称X （或)(x F ）有分布密度)(∙f ，并称X 为连续型随机向量。

一个p 个变量的函数)(∙f 能作为R P中某个随机向量的分布密度，当且仅当4．边际分布二、多元变量的独立性定义5.1.3两个随机向量X 和Y 称为是相互独立的，若对一切y x ,成立。

若F ),(y x 为（X ，Y ）的联合分布函数；)(x F X 和)(y F y 分别为X 和Y 的分布函数，则X 与Y 独立当且仅当F ),(y x = )(x F X )(y F y （5.1.3）若（X ，Y ）有分布密度函数),(y x f ，用)(x f X 和)(y f Y 分别表示X 和Y 的分布密度，则X 和Y 独立当且仅当),(y x f =)(x f X )(y f Y （5.1.4）注意在上述定义中，X 和Y 的维数一般是不同的。

类似地，称k 个随机向量k X X X ,,,21 相互独立，若它们的联合分布等于各自分布的乘积。

由k X X X ,,,21 相互独立可以推知任何i X 与j X (i ≠j )独立，但是，若已知任何i X 与j X (i ≠j )独立，并不能推出k X X X ,,,21 相互独立。

三、随机向量的数字特征若矩阵Χ=)(X ij 的每个元素都是随机变量，则称Χ为随机矩阵，随机向量)',,,(21p X X X =X 可以看作只有一列的随机矩阵。

1． 数学期望（均值）q p ⨯阶随机矩阵Χ=)(X ij 的数学期望（均值）为=∈∀≥pR1)()( 0)( )(dx x f ii R x x f i p⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==μμμμμμμμμpq p p qq pq p p q q ij E E E E E E E E E E E212222111211212222111211)()()()()()()()()())(()(X X X X X X X X X X X =μ（5.1.5） μ是一个 q p ⨯阶常数矩阵, 称为均值矩阵.当q=1时，便可以得到随机向量)',,,(21p X X X =X 的数学期望（均值）.μ是一个p 维的向量，称为均值向量。

当A 、B 为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：（1） )()(X X E E A A = （5.1.6） （2） B A B A )()(X X E E = （5.1.7） 证明(1)设A 为p m ⨯阶常数矩阵)(a ij)()(21212222111211112111121121212222111211X X E a a a a a a a a a a a a a a a E a a a a a a a a a E E p pq p p p p p j j mj p j j j p j j j p j j mj p j j j p j j j p pq p p p p ∙=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑∑∑======A A μμμμμμX X X X X X （2）设B 为 n ⨯1阶常数矩阵)(b ij 只需证明B B )()(X X E E =即可μX =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=P P E E E E μμμ 2121)( )()()(X X X()()BB ∙=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(212121222211121112122221112112121X X E b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b E b b b E E n p p n pp n n p n pp n n n pμμμμμμμμμμμμX X X X X X X X X X X X2． 协方差阵 设)',,,(21p X X X =X称它为p 维随机向量X 的自协方差阵，简称为X 的协方差阵。

称|COV （X ，X ）|为X 的广义方差，它是协差阵的行列式之值。

随机向量X 和Y 的协差阵设)',,,(21p X X X =X 和)',,,(21q Y Y Y =Y 分别为p 维和q 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个q p ⨯ 矩阵，其元素是),(Y X j i COV 即COV （X ，Y ）=)),((Y X j i q p COV ⨯ i =1,…, p ;j =1,…,q (5.1.9)若COV （X ，Y ）=0，称X 和Y 是不相关的。

协差阵的性质（1）随机向量X 的自协方差阵Σ是非负定的)8.1.5()())((),(/X X X X X X X V E E E COV =--==Σ)( )D( ),( ),( ),( )D( ),( ),( ),( )(D p 2122121211ij COV COV COV COV COV COV pp P P P P σ⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=X X X X X X X X X X X X X X X),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),(p 212221212111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=q P P q q COV COV COV COV COV COV COV COV COV Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X（2）当A 为常数矩阵，b 为常数向量时，A )(A b A 'X X V )(=+V (5.1.10) （3）当A 、B 为常数矩阵时，COV （A X ，B Y ）=A COV （X ，Y ）B / (5.1.11) （4）设n k k k ,,,21 是n 个常数，n X X X ,,,21 是n 个独立的p 维随机向量，则)()(121X X V k ik V i ni i ni i ∑∑--=(5.1.12)例5.1.1设随机向量)',,,(21p X X X =X 的数学期望和协方差阵分别为 )'7,2,5(-=μ,∑=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2532391214 令X X X Y 321142+-=,X X Y 322-=,X X X Y 321323-+= 求)',,(321Y Y Y =Y 的数学期望和协方差阵 解 令 =A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---231110412，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==x x x 321231110412X Y A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==15940725231110412)(X Y E E A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==2199125691401262561264772143111022532391214231110412)(('A A X V V Y)例5.1.2设n 个p 维随机向量n X X X ,,,21 相互独立，μX =)(i E ，Σ=)(X i V ，则∑==ni i n11X X 的数学期望为μX =)(E ，协方差阵为ΣnV 1)(=X3、相关矩阵设X 和Y 是两个随机变量，他们的相关系数为),(Y X ρρ=设)',,,(21p X X X =X 和)',,,(21q Y Y Y =Y 分别为p 维和q 维随机向量，它们之间的相关矩阵定义为),(Y X ρ = )),((Y X j i q p ρ⨯ (5.1.14)若0),(=Y X ρ,则表示X 和Y 不相关.特别 当X =Y 时, ),(X X ρ称为随机向量X 的相关矩阵,记作)(ρj i p p ⨯=R 1,),(==ρρρi i j i j i X X ,X 的相关矩)(ρj i p p ⨯=R 与协方差阵()ij σ∑=有如下 关系V V 11--∑=R (5.1.15) 其中 ),,,(12211σσσpp diag V =,ij ρ与ij σ有如下关系ij ρ=(5.1.16)5.2总体、样本与常用统计量总体：研究对象的全体，是一个服从p 维分布的随机向量)',,,(21p X X X =X 。