全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数，则AD=512.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证： CD - AB2/ C= / D , F 是 CD 中点，求证：/ 1= / 2证明：连接 BF 和 EF 。
因为 BC=ED,CF=DF, /BCF=Z EDF 。
EDF （边角边）。
所以 BF=EF, / CBF=Z DEF 。
连接 BE 。
在 三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 / EBF=Z BEF 。
又因为 / ABC=Z AEDb 所以 所以AB=AE 。
在三角形 ABF 和三角形AB=AE,BF=EF, / ABF=Z ABE+Z EBF=Z AEB+Z BEF=Z AEF。
所以A/ ABE=Z AEB 。
AEF 中,三角形 ABF 和三角所以三角形BCF 全等于三角形形AEF 全等。
所以Z BAF=Z EAF ( Z 1= Z 2)。
4.已知：/ 1= / 2, CD=DE , EF//AB，求证:EF=AC证明：过E点，作EG//AC ，交AD延长线于G则/ DEG=Z DCA / DGE=/2 又；CD=DEU AD3" GDE( AAS )••• EG=ACv EF//AB /-Z DFE=Z 1 v/ 1= / 2：丄 DFE=Z DG E AEF=EG：EF=AC5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD，求证：Z B=2 / C证明：在AC上截取AE=AB，连接ED •/ AD 平分Z BACA Z EAD=Z BAD又•/ AE=AB ，AD=AD ：•" AEM" ABD ( SAS)•：Z AED=ZB ，DE=DB •/ AC=AB+BDAC=AE+CE •: CE=DE：Z C=Z ED C vZ AED=Z C+ZEDC=2Z C：Z B=2ZC6.已知：AC平分Z BAD ,CE丄AB，Z B+ Z D=180 °，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF = EB，连接CF因为CE丄AB 所以Z CEB=Z CEF= 90 °因为EB = EF，CE = CE，所以△ CEB^A CEF 所以Z B=Z CFE 因为Z B+Z D= 180Z CFE+Z CFA= 180 ° 所以Z D=Z CFA 因为AC 平分Z BAD 所以Z DAC=Z FAC 又因为AC = AC 所以△ ADC^A AFC ( SAS) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形ABCD中，AB // DC，BE、CE分别平分Z ABC、Z BCD，且点E在AD 上。
求证：BC=AB+DC。
B DA证明:在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF. / ABE=/ FBE,BE=BE, 则"ABE ^A FBE(SAS), / EFB=Z AB;平行于 CD,则：/ A+Z D=180 ° ;又/ EFB+Z EFC=180 ° ,贝U/ EFC=Z D;又Z FCE=Z DCE,CE=CE,故"FCE ^A DCE(AAS),FC=CD.所I^BC=BF+FC=AB+CD.13. 已知：AB//ED , Z EAB= Z BDE , AF=CD , EF=BC ，求证：Z F= ZCAB//ED,AE//BD 推出 AE=BD, 又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB , 所以：Z C=ZF14. 已知：AB=CD , Z A= Z D ，求证：Z B= Z C证明：设线段 AB,CD 所在的直线交于 E ,（当AD<BC 时，E 点是射线BA,CD 的交点，当 AD>BC 时，E 点是射线AB,DC 的交点）。
则：△ AED 是等腰三角形。
所以： AE=DE 而AB=CD 所以： BE=CE（等量加等量，或等量减等量）所以：△是等腰三角形所以：角B=角C.15. P 是Z BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB作B 关于AD 的对称点B '，因为AD 是角BAC 的平分线， B'在线段 AC 上（在 AC 中间，因为 AB 较短）因为PC<PB' +B ' C,PC-PB ' <B ' C,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所 以 PC-PB<AC-AB16. 已知Z ABC=3 Z C ,Z 1= Z 2, BE 丄 AE ，求证：AC-AB=2BE Z BAC=180- (Z ABC+Z C=180-4ZC Z 1= Z BAC/2=90-2ZC Z ABE=90-Z 1=2 ZC延长BE 交AC 于F因为，Z 1 = Z 2, BE 丄 AE 所以，△ ABF 是等腰三角形AB=AF,BF=2BE Z FBC=Z ABC-Z ABE=3ZC -2Z C=ZC BF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B 17.已知，E 是 AB 中点，AF=BD , BD=5 , AC=7，求 DC作AG// BD 交DE 延长线于 GAGE 全等BDEDABADDEAG=BD=5 AG® CDFAF=AG=5所以DC=CF=218. （5 分）如图，在△ ABC 中，BD=DC ,Z 1 = / 2,求证：AD 丄BC.延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ DBC=/角DCB; / 1= / 2;/ DBC+Z 1= /角DCB+/2 ;/ ABC=Z ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/ BAD=Z CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线所以:AD垂直BC19. （5分）如图，0M平分/ POQ, MA丄OP,MB丄OQ , A、B为垂足，AB交0M于点N .求证：/ OAB = / OBA---- 因为AOM 与MOB都为直角三角形、共用OM，且/ MOA=/ MOB所以MA=MB 所以/ MAB=/ MBA因为/ OAM=/ OBM=90 度所以/ OAB=90-/ MAB / OBA=90-/ MBA 所以/ OAB=/ OBA。
-- A—卩20. （5分）如图，已知AD // BC,/ PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于E, CE的连线交AP 于D .求证：AD+BC=AB.CED 证明：做BE的延长线，与AP相交于F点，•/ PA//BC •••/ PAB+/ CBA=180 ° ,又T, AE , BE均为/ PAB和/ CBA的角平分线• / EAB+/ EBA=90 ° •/ AEB=90 ° , EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE丄BF,且AE为/ FAB的角平分线•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC 中，/ EBC=/ DFE,且BE=EF , / DEF=/ CEB,「.三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，•DF=BC「. AB=AF=AD+DF=AD+BCAD是/ CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：/ C=2 / B 21. （6 分）如图，△ ABC中, 证明：在AB 上找点E，使AE=AC •/ AE=AC ,/ EAD=/ CAD , AD=AD ADE^A ADC。
DE=CD ,/ AED=/ C v AB=AC+CD ,• DE=CD=AB -AC=AB-AE=BE / B=/ EDBZ C=/ B+/EDB=2/B22.(6分)如图①，E 、F分别为线段AC上的两个动点，且DE丄AC于E , BF丄AC于F, 若AB=CD, AF=CE, BD 交AC 于点M.(1)求证：MB=MD , ME=MF(2)当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由.分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt △ DEC^ Rt △ BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论.解答：解：(1)连接BE, DF .••• DE丄AC 于E, BF丄AC于F,, DEC=Z BFA=90 ° , DE// BF,在Rt △ DEC 和Rt △ BFA 中，T AF=CE, AB=CD Rt △ DEC^ Rt △ BFA, ••• DE=BF.「.四边形BEDF 是平行四边形.二MB=MD ME=MF ;(2)连接BE, DF .I DE 丄AC 于E, BF 丄AC 于DEC=Z BFA=90 ° , DE/ BF,在Rt △ DEC 和Rt △ BFA中，T AF=CE, AB=CD , • Rt △ DEC^ Rt △ BFA,「. DE=BF.「. 四边形BEDF是平行四边形.••• MB=MD ME=MF .23. (7分)已知：如图，DC // AB，且DC=AE , E为AB的中点,(1)求证：△ AED EBC.(2)观看图前，在不添辅助线的情况下，除△相等的三角形.(直接写出结果，不要求证明)：(1)DC// AE, 且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且/ EAD=Z BEG 由AE=BE，所以△ AEM A EBC。
(2)^ AEC、A ACD △ ECD 都面积相等。
24. (7分)如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C 点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE ,两线相交于点F T BE丄CE •••/ BEF=Z BEC=90 ° 在△ BEF 和△ BEC 中 / FBE=Z CBE, BE=BE, / BEF=Z BEC BEF^^ BEC(ASA)• EF=EC•CF=2CE T Z ABD+Z ADB=90° , / ACF+Z CDE=90° 又TZ ADB=Z CDE •••/ ABD=Z ACF 在△ ABD 和△ ACF 中Z ABD=Z ACF,AB=AC, Z BAD=Z CAF=90 °•△ ABD^^ ACF(ASA) • BD=CF • BD=2CEEBC外，请再写出两个与△ AED的面积25、（10 分）如图：DF=CE , AD=BC ，/ D= / C 。