如果S yx不为零，则可得系统的频响函数的第二种计算式7.频响函数的估计(相干分析)7.1. SISO 系统的频响函数及其估计对于SISO 系统，其频响函数的估计有很多计算方法， 主要的有三种估计式。

在没有噪声污染的情况下，它们的估计是等价的。

但是实际上，由于不可避免的 存在噪声，三种估计有所差异。

本节讨论在主要的三种噪声污染下，三种传统估计式与真值之间的误差7.1.1. 随机激励下的频响函数考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为H 。

设随机输入和响应信号分别为x(t)和y(t)，其傅立叶变换分别为X()和Y()，贝U 有上式两端乘以X * ，取时间平均及集合平均，并注意 H 与平均无关，则lim - Y X * H lim - X X TTTT如果S x不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式S xyS x同样，如果在系统输入/出频谱式两端乘以Y *，取时间平均和集合平均，得S yxxyH S xH iS y(1)H 2将系统输入/出频谱式两端取共轭，得*Y乘以原输入/出频谱式，并去时间平均和集合平均，得考虑一个SISO 时不变线性系统，其频率响应函数为 H 。

设系统的实际 输入和响应信号分别为u(t)和v(t)，其傅立叶变换分别为U()和2()，它们的 测量信号分别为x(t)和y(t)，其傅立叶变换分别为X()和Y()。

输出端噪声的影响若只有输出端受到噪声信号n(t)的污染，并设它与系统的u(t)和v(t)无关 则有S y S yx7.1.2 S yH2S可得系统的频响函数的幅值计算式H a2S y S x频响函数的估计方法xt u t X U y t v t nt Y V NA 、 第一估计式根据第一估计式的定义，有S xy S xlim - Y X TT1 * 1 lim —V X - NTTT由于噪声n(t)与激励u(t)，亦即x(t)无关，故根据大数定律，平均次数足够 多时S un为零，则I? SuvHH 1H iS u结果表明：只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第一估计式得到的 频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。

B 、 第二估计式根据第二估计式的定义，有H?iS xvS xnS uvunS yyxlim 1Y Y T T lim 1X Y TT1 *1* 1*1lim —V V —N V —— V N -N N TTTTT1 * 1 *lim 一X V — X NTTTS vS vn S nvS nS vS vn S nv S nS vxS nxS vuS nu由于噪声n(t)与响应v(t)，以及激励u(t)亦即x(t)无关，故根据大数定律，平 均次数足够多时S vn、S nv和S un 都为零，则式中,H 2vu可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的 频响函数估计是实际频响函数的有偏估计，是过估计H?2H?2S vH 2S vS v第二估计式根据第二估计式的定义，有 lim 1U U TT式中,H a可见，只有输出端响应受到噪声污染时，通过平均，根据第三估计式得到的 频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是过估计。

因此，只有输出响应受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系：H l H H a H 2输入端噪声的影响若只有输入端受到噪声信号m(t)的污染，并设它与系统的u(t)和v(t)无关H?aS x *Ylim 1Y TT1* limX X TT1* 1 * 1 * 1limV VN V V NTTT TTS v S vnS nvS n S v S vn S nv S nS uS u由于噪声n(t)与响应v(t)无关，故根据大数定律, S nv都为零，则平均次数足够多时S vn和H?aS v &S U H aS uS y N N第一估计式 根据第一估计式的定义，有则有 xt u t mtytvtH?iS xysXS uvS u S m 结果表明：只有输入端激励受到噪声污染时, 频响函数估计是实际频响函数的欠估计。

第二估计式 根据第二估计式的定义，有 S y S yxH i 1S mS通过平均，根据第一估计式得到的S vS vuH 2可见，只有输入端激励受到噪声污染时，通过平均，根据第二估计式得到的 频响函数估计是实际频响函数的无偏估计。

第二估计式 根据第二估计式的定义，有频响函数幅值的估计是实际频响函数幅值的有偏估计，也是欠估计所以，只有输入激励受到噪声污染时，频响函数的三种估计式有如下关系:H i H a H H2⑶ 输入/输出端复合噪声的影响若系统的输入/输出端分别受到噪声信号 的u(t)和v(t)无关。

则有xt第一估计式根据第一估计式的定义，可以推得可见，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时,计式得到的频响函数估计是实际频响函数的欠估计， 关。

B 、第二估计式同理，根据第二估计式的定义，可以推导出上式表明，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染时, 二估计式得到的频响函数估计是实际频响函数的有偏估计， 统的输入噪声无关。

C 、 第二估计式根据第二估计式的定义，可以推得ytvtm(t)/ n(t)的污染，并设它们与系统H?iS xyH i1鱼 sU通过平均，根据第一估并且与响应信号中的噪声无 S y S yxS v i 鱼S vuS vH 2S ns v通过平均，根据第 是过估计，并且与系1 S mS U进一步分析上式，可以得出下述结论：在系统输入激励和输出端响应都受到噪声 污染时，通过平均，根据第三估计式得到的频响函数幅值的估计 H?a是较H?i和H?2都更为接近实际频响函数幅值 H的估计。

因此，在系统输入激励和输出端响应都受到噪声污染的情况下，频响函数的 三种估计式有如下关系：H i H a H H 2综上所述，根据上述所有分析过程，可以进一步获得以下几点结论：(1) 频响函数的第一估计式可以抑制输出响应噪声， 第二估计式则可以抑制系 统的输入激励噪声；(2) 在各种噪声情况下，第一、第二估计式给出了实际频响函数的围：H i HH 2 ；(3)在受到噪声的情况下，第三估计式虽然与实际频响函数最为接近， 但是由 于它只能给出频响幅值的估计，无法获得相频特性信息，故在实际中很少使用；7.13 常相干函数根据上面的第二点综合结论，可知:将第一、二无估计式代入上式，可知:2S n1鱼S v S uH1 |上式成为相干函数，记为2阪2H 1XyS XS yH 2根据互谱不等式，显然有，0 Xy 1如果测试信号不受噪声污染，H 1 等于H 2 ，则Xy 等于1。

如果测试信 完全被噪声淹没，Xy 将趋于零。

所以，相干函数反映了测试信号受噪声污染的程度。

相干函数数值越大，说明噪声污染越小。

在无噪声的情况下，2xy从这个意义上而言，对于两个任意信号，相干函数反映了两个信号的相干关系。

如果两个信号的相干函数等于1，则说明这两个信号之间必定存在类似理想无噪 声的线性系统输入/出之间的相干关系。

值得指出的是，线性系统这一点非常重要。

如果系统具有非线性特性，其输 入输出之间的关系不能由传递函数完全表达，相干函数将不等于1,会降低。

通常，在实际情况下，当相干函数大于零但小于 1时，有下面四个主要原因 的一个或多个成立：测量中有外界噪声；两个信号之间的系统不是线性的； 系统有测量输入之外的其它激励源;谱估计中有偏度误差，主要包括采样混叠、频率泄漏、分辨率不够，以 及计算误差等等当系统只有输出响应噪声时，而且与系统的输入/输出都不相关时，频响函数 的第一估计式是系统频响函数的无偏估计，则系统的输出谱可以表示为2 uv(1) ⑵ ⑶ ⑷ H H因此，相干函数的下降可以理解为在各个频率点的输出信噪比的下降。

7.2.1. MIMO系统的频响函数考虑一个MIMO多自由度的时不变线性系统，其频率响应函数为H 。

在m个输入平稳随机激励的作用下，其n个输出响应也是平稳的随机过程。

设随机输入和响应信号分别为x(t)和y(t)，其傅立叶变换分别为X()和Y()，则有Y H X展开写成矩阵形式，即Y1H 11 H 12H 1mX1Y2H21 H 22H2m X2Y n H n1 H n2HnmX m上式两端右乘X H ，取时间平均及集合平均，并注意H与平均无关，则S v 2 S x S xyS x2S xS x S y S y通常将相干函数与输出自功率谱的乘积称为相干输出谱。

出谱可以解释为输出功率谱中，由线性系统形成的部分。

上式表明，相干输输出噪声功率谱可以通过下式计算S n S y S v 1 xy S y它可以解释为线性运算时没有计及的由于上述四个原因形成的那部分输出。

上式可以改写成2xy1|7.2. MIMO系统的频响函数及其估计lim 丄 Y X HT THlim T丄X TXS xyH S x式中互谱矩阵为S x1y1S x1y2 S x1 ynS x2y1S x2y2S x2 ynS xySxmylS xmy2SxmynS yxS y自谱矩阵为S x1 x1S x1x2 S x1xmS xS x2x1 S x2x2S x2xmS xmx1S xmx2 S xmxmS y1 y1 S y1y2 S y1ynS yS y2y1S y2y2 S y2ynSynyl Syny2Synyn如果S x不为零，则可得系统的频响函数的第一种计算式S yx从上式可以得知，当输入/输出数目不相等时，S yx 不是方阵，与SISO 系统, 不能利用上式估计频响函数矩阵。

将系统输入/出频谱式两端取转置共轭，得H H以上式右乘原输入/出频谱式，并取时间平均和集合平均，得H l S xyS x 1同样，如果在系统输入/出频谱式两端右乘Y H，取时间平均和集合平均，得S yS y H S x H从上式可以看出，对于一般情况下，上式也很难用于MIMO 系统的频响函数矩阵的估计计算。

所以，对于MIMO 系统，通常采用第一种估计方法去计算频响函数矩阵。

采用这种估计方法的缺点是，在某些频率点处，有可能出现输入自谱矩阵条件数很低时，这时，这种估计将会引起很大的估计偏差；当输入自谱矩阵奇异时，估计失败。

所以，在实际应用中，通常采用H v 估计算法。

一般认为，H v 估计与上述估计在理论上等价。

7.2.2. 频响函数的MISO 估计方法对于MISO 的情况的系统频响函数估计相对简单，在理论上可以进行分析，有助于理解频响函数和相干函数在MIMO 的应用。

在MISO 的估计模型中，由于输入情况很复杂，通常假定输入没有噪声，所有噪声污染都在输出端引入一个输出噪声一并考虑。

对于这种情况下，系统的输入/输出频谱特性之间有qY V N ，i1其中，V i H i X i , i 1,2, ,q由上式，噪声项N及其复共轭可以写成qN Y H i X ii1于是q* * * *N*Y*H *j X*jj1上面两式相乘，得N NY Yq H i Y * X i i 1 q* *H i Y X ii 1 q q * * H j H i X i X ji 1 j 1上式取时间平均和集合平均，得S yqH i S yii 1 q*H iq qH * H i S ji 1 j 1这就为估计频响函数确定了噪声功率谱函数。