习题22.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。

(1) ()rect(2)n f x x n ∞=-∞=-∑(2) ()tri(2)n g x x n ∞=-∞=-∑2.2 证明下列傅里叶变换关系式：(1) {rect()rect()}sinc()sinc()F x y ξη=; (2) 22{()()}sinc ()sinc ()F x y ξηΛΛ=; (3) {1}(,)F δξη=; (4) 11{sgn()sgn()}i πi πF x y ξη⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (5) {(sin )}F n nx δ; (6) {}222π()/ex y aF -+。

2.3 求x 和(2)xf x 的傅里叶变换。

2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。

()t r i (1)t r i (H ξξξ=+-- ()r e c t (/3)r e cG ξξξ=- 2.5 证明下列傅里叶变换定理：(1) 在所在(,)f x y 连续的点上11{(,)}{(,)}(,)FF f x y F F f x y f x y --==--； (2) {(,)(,){(,)}*((,)}F f x y h x y F f x y F g x y =。

2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1) 若0()()r f r r r δ=-，则000{()}2πJ (2π)r B f r r r ρ=; (2) 若1a r ≤≤时()1r f r =，而在其他地方为零，则11J (2π)J (2π){()}r a a B f r ρρρ-=;(3) 若{()}()r B f r F ρ=，则21{()}r B f r a a ρ⎛⎫=⎪⎝⎭; (4) 22ππ{e }erB ρ--=2.7 设(,)g r θ在极坐标中可分离变量。

证明若i (,)()e m r f r f r θθ=，则：i {(,)}(i )e H {()}m m m rF f r f r φθ=- 其中H {}m 为m 阶汉克尔变换：0{()}2π()J (2π)d m r r m H f r rf r r r ρ∞=⎰。

而(,)ρφ空间频率中的极坐标。

(提示：i sin i eJ ()e a xkxkk a ∞=-∞=∑)2.8 计算下列各式的一维卷积。

(1) 1rect *(23)2x x δ-⎛⎫-⎪⎝⎭ (2) 3rect *(4)*(1)2x x x δδ+⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3) 1rect *com b()2x x -⎛⎫⎪⎝⎭(4) πsin rect()2x x ⎛⎫*⎪⎝⎭2.9 试用卷积定理计算下列各式。

(1) sinc()*sinc()x x (2) {sinc()sinc(2)}F x x 2.10 用宽度为a 的狭缝，对平面上强度分布 0()2c o s (2π)f x x ξ=+扫描，在狭缝后用光电探测器记录。

求输出强度分布。

2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。

假定缝宽为a ，光栅常数为d ，缝数为N 。

2.12 计算下面函数的相关。

(1) 1rect 2x +⎛⎫⎪⎝⎭★1rect 2x -⎛⎫⎪⎝⎭(2) ()tri 21x -★()tri 21x -2.13 应用傅里叶定理求下面积分。

(1)2πecos(2π)d xax x ∞--∞⎰(2)2sinc ()sin(π)d x x x ∞-∞⎰2.14 求函数()rect()f x x =和()tri()f x x =的一阶和二阶导数。

2.15 试求下图所示函数的一维自相关。

2.16 试计算函数()rect(3)f x x =-的一阶矩。

2.17 证明实函数(,)f x y 的自相关是实的偶函数，即：(,)(,)ff ff R x y R x y =--。

2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。

(1) step()x (2) sgn()x (3) 0sin(2π)x ν2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。

(1) ()tri(1)tri(1)H x x x =+-- (2) ()rect(/3)rect()G x x x =- 2.20 表达式(,)(,)*com b com b x y p x y g x y X Y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦定义了一个周期函数，它在x 方向上的周期为X ，它在y 方向上的周期为Y 。

(a) 证明p 的傅里叶变换可以写为： (,),,n m nmn m P G X YX Y ξηδξη∞∞=-∞=-∞⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑其中G 是g 的傅里叶变换。

(b) 当(,)rect 2rect 2x y g x y X Y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，画出函数(,)p x y 的图形，并求出对应的傅里叶变换(,)P ξη。

习题33.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：(,)cos[2π()]g x y x y ξη=+，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。

3.2 证明零阶贝塞尔函数002J (2π)r ρ是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。

对应的本征值是什么？3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。

试问：(a) 这个系统是线性的吗？(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？ 3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布o (,)U x y ，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场分布i (,)U x y 。

可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间||x B ξ≤，||y B η≤之外恒等于零。

证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体o(,)U x y '，它与真实物体o U 产生完全一样的像i U ，并且等产供效物体的场分布可写成：o 0(,)(,)sinc(2)sinc(2)d d ,22X Y n m X Y n m U x y U n B m B x y B B ξηξηξηδ∞∞∞=-∞=-∞-∞⎡⎤⎛⎫'=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑⎰⎰ 3.5 定义： 1(,)d d (0,0)xy f x y x y f ∞-∞∆=⎰⎰, 1(,)d d (0,0)F F ξηξηξη∞-∞∆=⎰⎰分别为原函数(,)f x y 及其频谱函数(,)F ξη的“等效面积”和“等效带宽”，试证明： 1xy ξη∆∆=上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。

3.6 已知线性不变系统的输入为：()comb()f x x =。

系统的传递函数为rect(/)b ξ。

当1b =和3b =时，求系统的输出()g x ，并画出函数及其频谱。

3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为： ()7s i n c (7h x x = 用频率域方法对下列的每一个输入()i f x ，求其输出()i g x (必要时，可取合理近似)： (1) 1()cos 4πf x x = (2) 2()cos(4π)rect(/75)f x x x =(3) 3()[1cos(8π)]rect(/75)f x x x =+ (4) 4()comb()*rect(2)f x x x = 3.8 给定正实常数0ξ和实常数a 和b ，求证： (1) 若01||2b ξ<，则001sinc(/)*cos(2π)cos(2π)||x b x x b ξξ=(2) 若01||2b ξ>，则01sinc(/)*cos(2π)0||x b x b ξ=(3) 若||||b a <，则sinc(/)*sinc(/)||sinc(/)x b x a b x a =(4) 若||||2a b <，则22sinc(/)*sinc (/)||sinc (/)x b x a b x a =3.9 若限带函数()f x 的傅里叶变换在带宽w 之外恒为零，(1) 如果1||a w<，证明：1s i n c (/)*()()||x a f x f x a = (2) 如果1||a w>，上面的等式还成立吗？3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： 1()c o m b (/3)r e c t (/100)*r e c t ()3g x x x x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若系统脉冲响应：()rect(1)h x x =-。

求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。

3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波1()c o m b (/2)r e c t (/50)*t r i ()2g x x x x⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1) ()rect(/2)H ξξ= (2) ()rect(/4)rect(/2)H ξξξ=- 3.12 若对函数：2()sinc ()h x a ax =抽样，求允许的最大抽样间隔。

3.13 证明在频率平面上一个半径为B 的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：π(,),2224n m nm g x y g B B ∞∞=-∞=-∞⎧⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩∑∑习 题 44.1 尺寸为a b ⨯的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。

4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：(1) 00(,)t x y =(2) 001,(,)0,a t x y ⎧⎪≤=⎨⎪⎩其它4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： 00()cos(2/)t x a b x d π=+式中，d 为光栅的周期，0a b >>。

观察平面与光栅相距z 。

当z 分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

(1) 22r dz z λ==(2) 22r z dz λ==(3) 242r z dz λ==4.4 参看下图，用向P 点会聚的单色球面波照明孔径∑。

P 点位于孔径后面距离为z 的观察平面上，坐标为(0,)b 。

假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P 点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。

4.5 方向余弦为cos ,cos αβ，振幅为A 的倾斜单色平面波照明一个半径为a 的圆孔。