2. 若函数 f (x) 中存在 x1, x2 且 x1 x2 满足 f (x1) f (x2 ) ，求证： x1 x2 2x0 （ x0 为函数 f (x)
的极值点）；
3.
若函数
f (x) 存在两 个零点 x1, x2 且 x1
x2 ，令 x0

x1 x2 2
，求证：
f '(x0 ) 0 ；
4.
若函数
f (x) 中存在 x1, x2 且 x1
x2 满足
f (x1)
f (x2 ) ，令 x0
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 x2 2
，求证：
f '(x0 ) 0 .
三、问题初现，形神合聚
★函数 f (x) x2 2x 1 aex 有两极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 .
证明： x1 x2 4 .
点 m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数 f (x) 定义域内任意不同的实数 x1, x2 满足 f (x1) f (x2 ) ，
则 x1 x2 与极值点 m 必有确定的 大小关系： 2
若 m x1 x2 ，则称为极值点左偏；若 m x1 x2 ，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
2
2
如函数 g(x)
x ex
的极值点 x0
1刚好在方程 g(x)

c 的两根中点
x1
x2 2
的左边，我们称之为 极
值点左偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数 f (x) 存在两个零点 x1, x2 且 x1 x2 ，求证：x1 x2 2x0（ x0 为函数 f (x) 的极值点）；
四、招式演练
★过点������(−1,0)作曲线������(������) = ������������的切线������．
（1）求切线������的方程；
（2）若直线������与曲线������
=
������ ������(������)
(������
∈
������)交于不同的两点������(������1,
一、极值点偏移的含义 众所周知，函数 f (x) 满足定义域内任意自变量 x 都有 f (x) f (2m x) ，则函数 f (x) 关于
直线 x m 对称；可以理解为函数 f (x) 在对称轴两侧，函数值 变化快慢相同，且若 f (x) 为单
峰函数，则 x m 必为 f (x) 的极值点. 如二次函数 f (x) 的顶点就是极值点 x0 ，若 f (x) c 的两
因为������1 ≠ ������2，不妨设������1 < −2，������2 > −2． 设������(������) = ������(������) − ������(−4 − ������)，则������′(������) = ������′(������) + ������′(−4 − ������) = (������ + 2)������������(1 − ������−2(2+������))， 当������ > −2时，������′(������) > 0，������(������)在(−2, +∞)单调递增，[来源:学*科*网Z*X*X*K] 所以������(������) > ������(−2) = 0，所以当������ > −2时，������(������) > ������(−4 − ������)． 因为������2 > −2，所以������(������2) > ������(−4 − ������2)， 从而������(������1) > ������(−4 − ������2)，因为−4 − ������2 < −2，������(������)在(−∞, −2)单调递减，所以������1 < −4 − ������2， 即������1 + ������2 < −4．
������1)，������(������2,
������2)，求证：������1
+
������2
<
−4．
【答案】（1）������ = ������ + 1（2） 见解析
【解析】
试题分析：（1）先根据导数几何意义求切线斜率������′|������=0 = 1 ，再根 据点斜式求切线方程������ = ������ + 1．
极值点偏移问题在 近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待 此类问题经常是束手无策，而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又 是含有参数的. 其实，此类问题处理的手段有 很多，方法也就有很多，下面我们来逐一探索！
[来源:Z。xx。]
[来源:学,科,网]
★已知函数
f
(x)

ln
x
的图象 C1
与函数
g(x)

1 2
ax2

bx(a

0)
的图象 C2
交于
P, Q
，过
PQ
的中
点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1 ， C2 于点 M , N ，问是否存在点 R ，使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N
处的切线平行？若存在，求出 R 的横坐标；若不存在，请说明理由.
[来源:]
一、极值点偏移的判定定理
对于可导函数 y f (x) ，在区间 (a,b) 上只有一个极大（小）值点 x0 ，方程 f (x) 0 的解分
别为 x1, x2 ，且 a x1 x2 b ，
所以 h(2 x) h(2 x) ，
所以 h(x1) h(x2 ) h[2 (x2 2)] h[2 (x2 2)] h(4 x2 ) ，
因为 x1 2 ， 4 x2 2 ， h(x) 在 (,2) 上单调递减
所以 x1 4 x2 ，即 x1 x2 4 .
根的中点为
x1
x2 2
，则刚好有
x1
x2 2

x0 ，即极值 点在两根的正中间，也就是极值点没有偏
移.
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 f (x) 的极值点为 m ，且函数 f (x) 满足定
义域内 x m 左侧的任意自变量 x 都有 f (x) f (2m x) 或 f (x) f (2m x) ，则函数 f (x) 极值