3.1 AR（自回归）模型
一般地，如果和p个过去值有关则是p阶自回归模型， 记为AR（p），表达式为： xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
(B) xt t
或者
其中， (B) 1 1 B 2 B 2 p B p
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第三节 时间序列的图形化观察
4、互相关图（CCF） 对两个互相对应的时间序列进行相关性分 析，检验一个序列与另一个序列的滞后 序列之间的相关性 Analyze>Forecasting>Cross Correlations 举例： GDP与通信业务收入，0阶滞后相关性最显 著
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3.2 MA模型
（Moving Average Model）
3.3 ARMA模型
（Auto Regression Moving Average model）
3.4 ARIMA模型
（ Autoregressive Integrated Moving Average Model ）
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3.1 AR（自回归）模型
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第六节 ARIMA模型
ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克 思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的著名时间序列 预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
第十一章 SPSS的时间序列分析
1-1
第一节 时间序列分析概述
一、相关概念 时间序列：有序的数列：y1,y2,y3,…yt 理解： 1、有先后顺序且时间间隔均匀的数列； 2、随机变量族或随机过程的一个“实现” ，即在每一个固定时间点t上，现象yt看 作是一个随机变量， y1,y2,y3,…yt是一系 列随机变量所表现的一个结果。
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4、ARIMA模型建模步骤
4.1 时间序列的平稳性
4.2 模型识别
4.3 参数估计和模型诊断
4.4 预测
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4.1 时间序列的平稳性
平稳时间序列的基本概念
设Xt是一个随机的时间序列，即是对每个固定的t， Xt是一个 随机变量，如果满足下述条件：
E（X t） m , t取一切整数， m为常数； E（X t k m） (X t m) rk k 0,1,2,
在ARIMA（p，d，q）模型中，AR是自回归, p为自回归 项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为 平稳时所做的差分次数。（后面将具体介绍此部分）
1 - 16
ARIMA模型的基本思想
将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机 序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。 这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现 在值来预测未来值。
线形模型的指数平滑法(Holt Exponential smoothing model) 线形模型的二次指数平滑法 (Brown Exponential smoothing model) 比例模型的指数平滑法 (Muir Exponential smoothing model) 季节模型的指数平滑法 (Winters Exponential smoothing model)
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第三节 时间序列的图形化观察
举例： GDP 序列的各阶自相关函数值显著不为0，同时 随着阶数的增加，函数值呈下降趋势； 偏自相关函数值则呈明显下降趋势，很 快落入置信区间。 判断：具有明显上升趋势的非平稳序列， 两阶差分后，具有白噪声特征
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第三节 时间序列的图形化观察
举例： 月度电信业务收入 序列的各阶自相关函数值显著不为0，同时随 着阶数的增加，函数值呈下降趋势；偏自 相关函数值则呈明显下降趋势，很快落入 置信区间。自相关函数呈周期性波动，且 以周期长度及其整数倍数为阶数的自相关 和偏自相关函数值均显著不为0 判断：具有明显上升趋势和周期性的非平稳 序列
1-5
时间序列分析的一般步骤
5、模型评价阶段 预测精度：SSE、MAPE、拟合优度、预测 值方差 横向关系：F统计量、t统计量、AIC、SBC 6、模型的实施应用阶段
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第二节 数据准备
一、数据文件建立 二、时间定义 Data>Define Dates 多种时间形式 三、数据期间的选取 Data>Select Cases
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2、方法性工具
2.1差分运算
2.2后移算子
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2.1 差分运算
一阶差分
xt xt xt 1
p xt p1 xt p1 xt 1
P阶差分
K步差分
k xt xt k
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2.2 后移算子
后移算子（也称延迟算子）类似于一个时间指针，当 前序列值乘以一个后移算子，就相当于把当前序列值 的时间向过去拨了一个时刻 。 记B为后移算子，有 Bx t x t 1
t k
量的干扰之后， x
对 x 影响的相关度量。用数学语言描述就是 t
x ,x
t
t k
xt 1 ,, xt k 1
ˆ x )(x E ˆ x )] E[(xt E t t k t k ˆx ) 2 E[(x E
t k t k
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4.2 模型识别
模型识别主要是通过读ACF图和PACF图为目标序列定阶，即识别 p, q的值，提供几个粗的模型以便进一步分析完善。例如：
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3.4 ARIMA模型
经过差分变换后的序列再应用ARMA模型，称为ARIMA模型（ Autoregressive integrated moving average models）。记作：
(B)w t (B) t
其中，Wt是指差分过的序列。 如果是对观测序列的d阶差分，则记作ARIMA（p, d, q）。这时模型 需要对p, d, q定阶，而且需要对Φ 和θ 做出估计。AR（p）和 MA（q）模型实际上是ARIMA 的特殊情况。 还有ARIMA的季节模型（Seasonal Models），在这里不作讨论。
1-9
第三节 时间序列的图形化观察
3、自相关函数图（ACF）和偏自相关函数图（ PACF） 序列平稳性考察中首要的图形工具，用于识别时 间序列的各种非平稳性和确定时序模型中的 参数具有重要作用。 自相关函数图（ACF）和偏自相关函数图（ PACF）是以自相关函数和偏自相关函数为依 据绘制的图形 Analyze>Forecasting>Autocorrelations
ARMA模型相关性特征 模型
1-4
时间序列模型
二、随机型时间序列模型： ARMA模型（B-J）：一种典型的随机型时间序列分 析方法，常用于随机性波动较频繁序列的短期预 测。适合于平稳序列的分析。对于非平稳序列， 通过差分或季节差分以及各种变换进行平稳化处 理后采用，统称为ARIMA模型 ARCH模型：自回归条件异方差模型 ，对于一个时 间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而 相应的条件方差也不同，利用ARCH 模型，可 以刻划出随时间而变异的条件方差。
xt (B) t 其中， (B) 1 1 B 2 B p B
MA模型的目的就是求各个θ 的估计值。
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3.3 ARMA模型
对于AR（p）模型，如果误差项不是白噪声，而是表现为 MA（q）形式，则是ARMA（p, q）模型，即：
(B) xt (B) t
则Xt称为宽平稳时间序列，rk称为自协方差函数。 平稳时间序列的重要方法就是进行差分。
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4.2 模型识别
两个重要概念：
自相关函数（Autocorrelation Function , AFC）
k
偏自相关函数PACF

rk r0
对于平稳AR (p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机 变量 k-1个随机变 xt 1 , xt 2 ,, xt k的条件下，或者说，在剔除了中间 1
第四节 时间序列的预处理
一、缺失数据的处理 二、变换处理 平稳化处理：目的是使处理后的序列成为 平稳序列，均值平稳化一般采用差分处 理，差分通过逐项相减消除前后期数据 相关性，可大致剔除序列中的趋势性。 Transform>Create Time Series
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第五节 指数平滑法
Xt代表数据，Tt,St,Rt 分别代表趋势值，季节加量 ，随即干扰，则有Xt=Tt+St+Rt
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时间序列分析的一般步骤
1、数据准备 收集数据，按恰当格式组织 2、数据的观察与检验阶段 总体把握时间序列发展变化特征，图形法等 3、数据的预处理阶段 必要的变换，特征更加明显利于模型选择，满足 模型要求 4、数据分析和建模阶段
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时间序列模型
时域： 一、成熟方法： 简单回归分析：研究变量间关系，用一个或几个 变量的变化解释所关注变量的变化规律，适 合于序列间的结构分析，较长期预测； 趋势外推：利用各种特征曲线进行拟合，适合于 精度要求不高的中长期预测； 指数平滑：利用平滑去除随机干扰
E ( t ) 0，Var ( t ) 2 , E ( t s ) 0, s t Exs t 0, s t
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3.1 AR（自回归）模型
(1) xt 0.8xt 1 t
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(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
B 2 x t B( Bx t ) x t 2 B k x t x分运算的关系
1 B k xt xt k (1 B ) xt