解析几何中定点、定值、定直线问题解析几何中定点定值问题2例1已知椭圆 —=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过Ma的两条动弦MA MB 满足MAL MB 对于给定的实数a(a 1), 证明：直线AB 过定点。
解：由MA MB =0知MA_MB ,从而直线MA 与坐标轴不垂直， 故可设直线MA 的方程为y 二kx 1，直线MB 的方程为1 y x 1k将y 二kx1代入椭圆C 的方程，整理得(1 a 2 k 2 )x 2 2a 2k=x 0例3已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在x 轴上， 斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点, OA OB 与 a=(3,-1)共线.(1) 求椭圆的离心率；解得x=0或 -2a 2k1 a 2k 2故点A 的坐标为-2a 2k1 a 2k2 2 21-a k )1 a k 同理，点B 的坐标为2 2 2(2a k k -a )k a k a知直线l 的斜率为k 2 - a 2 1 -a 2k 2 k 2a 21 a 2k 2=k _12a k _ -2a k(a 2 1)k~T22^~2k a 1 a k 直线l 的方程为 k 2 -1 2(a 2- (x- 2a 2kk 2 a 2k 2 a 2k 2 -1a 2 -1 2(a 2-a 2 1-直线l 过定点0,a 2 -1 a 2 1化简得(a 2b 2)x 2—2a 2cx a 2c 2-a 2b 2令 A(x i,y i), B(X 2, y 2),2贝 y Xi X 2|a -c^,x i x 2a +b2 2a c 22a ba 2b 2由OA OB=(为 X 2,% y 2), a =(3,- 1),OA OB 与a 共线，得3(% y 2)(x i X 2) =0.y i =Xi -cy 7 -c, 3( x 2 -2c)区 x 2) =0, 3c 2 .二至,所以a 2 =3b 2. X-| x 22a 2ca 2b 22 2 16a c = a 「b ,3I故离心率e = c—.(II )证明：由(I )知a 2=3b 2，所以椭圆2 20 y__a 2b 2x 2 3y 2 =3b 2.设OM =(x,y),由已知得(x,y) = (Xi,y )；；■丄化小),x=檢1 + %,「・ Jy =环卡%.(2)设M 为椭圆上任意一点，且OM 「OA .OB(.i R),证明，」为定值.2 2笃与=1(a b ■ 0), F(c,0), a b2 2则直线AB 的方程为y=x —c,代入笃吕a b(I )解：设椭圆方程为由(| )知 Xix^|c,a^|c 2,b^ -2c 2.a 2c 2 -a 2b 23 2X i X 2 = -------22c . a 2 b 2 8X 1X 2 3y』2 = % X 23(x i -c)(X 2 -c)2二4X J X 2 - 3(x 1 x 2)c 3c3 2 9 2 2c ' 3c2故2」为定值，定值为1.2二一^又 x13y 1 = 3b 2, x ； 3y ； = 3b2又，代入①得,2」=1.例4设F I,F 2是椭圆2c ：£42才胡的左右焦A,B分别为左顶点和上顶点，过右焦点 直线AM,AN 分别与已知直线F 2的直线I 交椭圆C 于M,N 两点， x=4交于点P,Q ，试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.（2）根据题意可知*亘线「斜率不为山 设宜线厂方n^x = my + l.（乃•必），3 Y 2 - 41?2 =12、'”得（3w _+4）y 2—9 = 0 ,—9由韦达宦理得北—弘=—.—J 】片=——，又蛙点p （4.y o ）,_3wi _+4 +4" V A.M.P 三点共线”由药7 =(枠］-土珀，AP = (6. v p )得,y p =6?- ”阴+ 3同理* % = &■儿'线段P0的中点D （丄+） T 即（4.-伽）*_用乃十3 ____ 2则D 到直线F 的距离'hd = 3血+1 .网为日二八所以P0为山轮的闘与戊线J+U 切.高二数学作业（13）2 21.过双曲线[亡可左焦点已的直线交曲线的左支于 两点，F 2为其右焦点，则MF 』+|NF2- MN|的值为 ________以PQ 为直廉的風的半径*=专"9阪+加-如？沪朋乃+ 3用V 3沪 + 4‘ 3讦+4F^1=3>i »r +1.362 ______________V-（a b 0）中不平行于对称轴的一条弦，M=1上，对不同于顶点的任意三个点 M ,A ,B , 存在锐角0?使OM=cosTOA+sin^OB・则直线OA 与OB 的斜率之 积为 .」-------------------------------- 24.如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点J 在平面口 内运动，使得△ ABP ■点 ■ P 的轨迹是 椭圆（第45.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 「2x 2一 y-1.椭圆C 2：4x 2+y 2h.若M 、N 分别是G 、C 2上的动点，且0M 丄ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON|=1, |OM|=飞，则O2. AB 是椭圆X 2a是AB 的中点， 0是椭圆的中心，kAB koMb 2~2a23.在椭圆y y到直线MN 的距离为「.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y=kx (显然心圧),贝g 直 线OM的方程为y 」1x.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(| OM |2 | ON |2)d 2 =|0M |2|ON |211亠 13k2书 Q 一 玄所以尹二耐苛二HTT 二，即d=—.综上，O 到直线MN 的距离是定值.则直线m的方程为y»^(x -2)，y =±(x—2)y 厂匕x -込少菖y 1y 1 丫勺儿 +222222-人 2（人-4） 4y 1 2 - x 1 2（人 4） 12 -3人 - x 1 2-x 1_2-x 1,y = kx #x 2 +y 2 =1\21宀忌，所以|ONW .同理|OM■翳4 k 2k 216.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :B 分别是椭圆E的左、右顶点，直线 轴，点P是椭圆上异于A ，B 2 2环計若点A ， l 经过点B 且垂直于x一点，直线AP 交l 于点M.设过点 直于PB 的直线为m .求证：直线 定点，并求出定点的坐标• 证明：直线BP 的斜率为k 2=七，% —2 ‘的任意M垂 过y 」KIA CB乙Flx直线m 的斜率为kmy 1x x x = （x 1）y1 （为2）% y1 （捲2）% y y y ?y1 y1 y1所以直线m过定点（一1,0）.7.已知椭圆匚+石七心。
）的离心率为空，且过点P（#£）,a b 2 2 2 ?记椭圆的左顶点为A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求〔ABC 面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为％，k2的直线交椭圆于D，E 两点，且矶=2，求证：直线DE恒过一个定点.C1)V橢0—+'—= 1 （a>i>>0）的离心率为也，且过点只返, &2 护 2 21 12+4=1, 忍b2解得12 T所以椭圆（:的方程jbx2+2y2-l-*4分(2 )解：T SD ( ms n) > C( -n» n),贝1 S/i ABC=y x 2 |m| x|n| = | Ji|* | n b]^V = 3j2h|-|n|,所以|nH|n|<y,当且仅当岡=渥网时取等号…8分从而SAABC^^ 即△ABC面积的最大值拘#…9分Xl = JW3+2rt a>2(3)证明：因为A ( - h 0)t所以AS y=ki (x+l) J AEt y二蚊(x+l)、由｛,消去y,得(1 + 2走J)存+4衍S+2約2-1 = 0.[F+2畀=1l-2fci2 3kiS——”—)1+2 灯2 l + 2fci2解得沪-1或沪-------时扶2同理E C 卜2灯1 + 2灼2jti3-88+fci2•••直线DE 的方程为y 4約 2k\2刘 8+k 1+2 灯 2 1-2 上 2---- 7 =「 --------- T 衣一------ -）， 1 + 2如 十8 1-2屮 MR 8+灯2 1+2 上］2 3灯 1-2 約 2 3^1 5上 1 • （x_ --- ）, 即 y = - -- x+ ---- — l+2ki 2 : ............ 2上1 即y- ---- 1 + 2 刘 2 2（刘 2+2） 所以 2y^12+（3x+5）^1+y=0, y=° ，得直线DE 恒过定点（-壬，0）-16分.3x+5=0 3则由 ” ••• 1 4分 2（刘 2+2） 2（刘 2+2）高二数学教学案(13)2例1已知椭圆—=1(2)的上顶点为M( 0, 1),过Ma的两条动弦MA MB满足MAL MB对于给定的实数a(a .1), 证明：直线AB过定点。
例2 一束光线从点R(一1,0)出发，经直线| ：2x—y 3 = 0上一点P反射后，恰好穿过点F2(1,0)・(1)求P点的坐标；(2)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；(3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由.例3已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点, OA OB与 a=(3,-1)共线.(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且OM」OA 0B( , R)，证明2"为定值.2 2例4设F I,F2是椭圆C:^「1的左右焦点，A,B分别为左顶点和上顶点，过右焦点F2的直线I交椭圆C于M,N两点，直线AM, AN 分别与已知直线x=4交于点P,Q，试探究以PQ为直径的圆与直线I的位置关系•高二数学作业(13)2 21.过双曲线7-y=i左焦点F1的直线交曲线的左支于M, N两点，F2为其右焦点，则MF2I+I NF2 -MN|的值为___________ .2 22.AB是椭圆务舊=1(a b 0)中不平行于对称轴的一条弦，Ma b 7是AB的中点，O是椭圆的中心，k AB・k°M= _________- 23.在椭圆f v2^上，对不同于顶点的任意三个点M,A,B , 存在锐角0?使OM“=cos日OA+s inZB .则直线OA与OB的斜率之4.如图，AB是平面。