A题零件的参数设计摘要零件的参数设计是工业生产中经常遇到的一个问题。

本文通过题中具体例子给出一般零件参数设计的原则与方法。

模型一：蒙特卡罗模型。

在确定各个参数标定值与容差的情况下，利用蒙特卡罗方法，尽可能模拟真实零件的生产状况。

根据各个参数的分布，每个零件随机产生1000个实际值，代入公式算出每一个产品的Y值，根据其与目标值的关系判断损失费用。

运用MATLAB算出总费用=Q314.57万元模型二：概率模型。

此问题是一个关于概率的非线性规划模型。

首先，将产x的复杂的函数关系式运用泰勒级数展开成线性函数。

一品参数Y关于零件参数ix概率密度的情况下，易求出Y的概率密度，进而求出次品及废品方面，在已知i的概率。

另一方面，本文引入选择矩阵与等级矩阵，统一零件损失费用，而不需讨论108种分配情况。

以工厂损失总费用最小为目标，建立关于积分方程的非线性规划模型。

并用lingo编程得到表1-1的结果：表1-1算出总费用为：128=Q万元。

节省的总费用为274.442万元。

40.由上述例题概括出参数设计的一般方法：S1：在误差范围内，线性化产品参数关于零件参数的函数（可运用泰勒公式）；S2：确定产品参数的密度函数；S3：计算不同等级产品出现的概率；S4：确定产品的质量损失费用函数（可利用期望求解）；S5：设计零件成本矩阵，计算总成本函数；S6：确保总费用最小，求解零件参数的组合（可运用非线性规划求解）。

关键词：蒙特卡罗、泰勒公式、非线性规划、正态分布、0-1变量一、 问题重述1、背景知识机械零件作为组成机械和机器的不可拆分的基本单元，在制造业中至关重要。

机械零件是从机械构造学和力学分离出来的。

随着机械工业的发展，新的设计理论和方法、新材料、新工艺的出现，机械零件进入了新的发展阶段。

对零件也有了更加严格的要求。

有限元法、断裂力学、弹性流体动压润滑、优化设计、可靠性设计、计算机辅助设计（CAD ）、实体建模（Pro 、Ug 、Solidworks 等）、系统分析和设计方法学等理论，已逐渐用于机械零件的研究和设计。

更好地实现多种学科的综合，实现宏观与微观相结合，探求新的原理和结构，更多地采用动态设计和精确设计，更有效地利用电子计算机，才能进一步发展设计理论和方法。

2、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

零件参数包括标定值和容差两部分。

进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。

若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。

零件参数的设计，就是要确定其标定值和容差。

这时要考虑两方面因素： 一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：7616.1242356.02485.01235136.0162.2142.174x x x x x x x x x x x Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-y 的目标值（记作y 0）为1.50。

当y 偏离y 0±0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0±0.3时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。

7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）（标定值为：x 1=0.1,x 2=0.3,x 3=0.1,x 4=0.1,x 5=1.5,x 6=16,x 7=0.75;容差均取最便宜的等级。

试求该种情况下的总费用。

（2）请综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、基本假设1.在生产加工过程中产品质量不受零件规格之外的其他因素的影响；2.假设零件参数只受标定值和容差两部分影响；3.在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍；4.生产产品的费用只包括质量损失和产品成本两个部分；5.各产品零件函数符合正态分布；且参数之间是相互独立的6.生产一件产品所需要的各种零件数是相等且固定的，为1；7.同种零件的选取等级是相同的。

三、参数说明1．i x ：表示零件i 的参数； 2．i μ：参数i x 的标定值（期望）； 3．i σ：参数i x 的均方差（标准差）； 4．y ∆：参数y 与目标值的偏差； 5．0y ：参数y 的目标值； 6．i x ∆：参数i x 的容差； 7．W ：产品质量损失； 8．C ：产品的总成本； 9．Q ：表示总费用；10．()i x f ：参数i x 的概率密度函数； 11．()y f ：Y 的密度函数； 12．1p ：产品为次品的概率；13．p：产品为废品的概率；214．m：表示在N件零件中次品的个数；15．n：表示在N件零件中废品的个数；16．B：等级数值选取矩阵；17．F：零件的成本矩阵；18．μ：参数Y的期望；19．σ：参数Y的均方差四、问题分析首先明确“零件参数”与“产品参数”是两个不同的概念，它们之间存在相应的函数关系式。

“零件参数”的误差通过该函数传递到产品参数，由此影响产品的质量。

产生损失费用。

而产品的总费用主要包含两方面：产品的质量损失和产品成本。

对于产品成本来说，容差决定成本大小，容差越大，成本低；容差越小，成本越高。

而容差的界定对零件残次品有一定的影响，成本低时，对产品规格要求较低，残次品出现的概率就大大曾加，从而产品质量不高，损失费用大；另一方面，成本高时，对产品规格要求较高，残次品出现的概率就相对减少，产品整体质量较高，损失费用减少。

所以产品成本费用和产品质量损失费用是呈相反方向延伸的，要想确保整体费用最小，则两种费用合理搭配至关重要。

x的对于问题一：当各零件参数的标志值和容差都已知的情况下，零件参数i范围就已经确定；若Y已知则产品质量损失就已知。

本题将生产成本确定为最小生产成本，则在A、B、C三种规格确定的情况下，我们就可以确定各种零件参数的容差取值。

此题的主要工作就是对产品质量损失的确定：产品的质量损失是关x的具体值，则Y确定，质量损失确定。

而于产品参数Y的函数，如果我们知道ix的函数关系不是单纯的多项式分布。

Y关于i0.2850.290.2950.30.3050.310.315产生的正态随机数与理论值的对比图4-1为了方便计算，在i x 的范围确定和正态分布条件下，利用蒙特卡洛[1]方法随机产生数据（图4-1），以模拟一次加工中各种零件参数可能取值，将这些数值带入公式，求得平均值，则近似看做产品质量损失费用。

随机选取数据越多，则结果越接近真实值。

对于问题二：在问题一的启发下，如果i x 的范围固定，就可以运用随机数计算出损失的具体费用，但是在标志值和容差没有给定的情况下，采取这种方法计算量过大，利用计算机不能短时间内得到具体数据，所以对于问题二需要采用不同的思路解答。

本文采用概率作理论计算。

为了保证生产、加工流水线统一运行，零件的规格有一定的标准，由于机器设备不能精确生产出高精准的零件，必须给零件设置一个误差范围，在这个范围内，零件都可以被利用。

题干中所选取的参数目标值50.10=y ，当y 偏离1.00±y 时，产品为次品，质量损失为1000元；当y 偏离3.00±y 时，产品为废品，损失为9000元。

本文将质量损失费用函数看为分段函数，当1.0≤∆y 时，产品为合格产品，无质量损失；当3.01.0<∆<y 时，产品为次品，每件产品质量损失1000元；当3.0≤∆y 时，产品为废品，每件产品质量损失9000元。

而生产一批零件，不能完全保证零件都为合格品、次品或废品，必定各种规格的零件都存在一定的数量。

而当零件容差确定的情况下，合格品、次品、废品的出现概率就确定。

而要确定合格品、次品、废品的概率，就必须知道Y 的概率密度。

求解Y 的概率密度是关键。

题干中Y 相对于i x 复杂的模型使密度函数的求解过于复杂化，所以应先将Y 函数简化。

本文的目标是将Y 简化为i x 的线性函数，首先联想到了泰勒公式，将),(71x x f 在)75.0,16,5.1,1.0,1.0,3.0,1.0(点处运用泰勒展开，舍去i x 的二次及以上次方项，只保留一次项和常数项，将函数简化为：c x k Y i i i +=∑=71，在此过程中要考虑误差的产生导致结果的偏差，所以对于误差的讨论也有一定的必要。

将),(71x x f y =展开成线性函数后，根据假设5，),(~i i i N x σμ，可知y 也服从正态分布，进而可以求出y 的概率密度，有了y 的概率密度，可以用积分的形式表达出次品、废品的概率。

进而可以算出总的零件成本。

对于产品成本的求解：本文引入0-1变量的选择矩阵，等级矩阵与费用矩阵。

统一产品成本的表达式。

针对有些参数无法取到某个等级，在费用矩阵中，相应等级的费用取某个比较大的数。

在求解过程中，就会避过该等级。

这样总费用W 就是关于各个产品标定值i μ与选择矩阵ij c 的函数。

以总目标最小，建立非线性规划模型。

五、模型建立和求解问题一模型蒙特卡罗方法是一种数值计算方法，它以概率统计理论为主要理论基础，以随机抽样为主要手段。

首先建立一个与所求解相关的概率模型，使所求问题的解正好是所建立模型的数学期望或者其他有关特征量；然后通过多次模拟一个统计试验，统计出某事件发生的概率；利用建立的概率模型，求出要估计的参数；再次对模拟结果进行分析总结，验证该系统的某些特征。

当各零件参数的标志值和容差都已知的情况下，零件参数i x 的范围就已经确定；若Y 已知则产品质量损失就已知。

本题将生产成本确定为最小生产成本，则在A 、B 、C 三种规格确定的情况下，我们就可以确定各种零件参数的容差取值。

第一题的主要工作就是对产品质量损失的确定：产品的质量损失是关于产品参数Y 的函数，如果我们知道一个零件中某个参数i x 的具体值，则可以确定Y ，进而确定质量损失。

而Y 关于i x 的函数关系不是单纯的多项式分布，为了方便计算，在i x 的范围确定和服从图5-1 正态分布条件下，利用蒙特卡洛方法随机产生1000个实际零件数据，可以模拟一次加工中各种零件参数可能取值，将这些数值带入公式，可求出1000个产品Y 值。