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哲学家Strongart自学数学的非常故事的真实经历

女士们先生们,我是Strongart。

记得在我24岁生日那天,曾经写过一段自学数学的小故事。

现在又是一年多过去了,就再介绍一点回到家之后的情况吧,顺便把以前的故事精简一下。

其实我从小启蒙教育就比较好,倒不是有什么专门的培训,只是上小学之前都在家里,有意无意地从爷爷那里学了很多东西。

到上小学的时候,我就已经能熟练掌握四则运算,可惜后来进了学校就停滞了,对数字的感觉明明已经非常敏锐了,还得跟他们一起背什么乘法口诀表!直到四年级的时候为准备竞赛,数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。

在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学,一点都不觉得有什么困难。

此后又是一段长期的停滞,直到一天我偶然发现一本书,是讲如何教育孩子成材的,其中有许多天才成长的故事深深打动了我。

记得里面有一句大意是这样的:在孩子成熟之前,只要有一个小小的起点,让他体会到自己独特的价值并为之努力,那么他成年后将远远超过其他一般的人。

那时我不知是初一还是初二,只是对这样的语句有一种模糊的体验。

后来,在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》,促使我真正走上了自学数学的道路,再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅,到中考前已经完成相当于高中的数学课程。

幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》,然后就开始为按定义证明极限苦恼,能问老师吗?我不敢,因为直觉告诉我这是犯规的,可能这就是“潜规则”的压力了。

刚开始看《数学分析》真的很困难,手头只有一本教科书,习题只能做开头的几道。

特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论,像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。

直到后来看到微分学,又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典,才算是稍微送了口气。

记得当时“违规”用导数做出道难题,反倒没办法讲给别人听,只轻轻说了“导数”两个字(据说现在高中数学讲导数了,很人性啊!那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧),惹得他们看外星人一样的看我!回顾高中以前的经历,运气要占了很大的因素,可后来就没那么巧了。

第一年没考上大学,又买不到合适的数学书,就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理方法、离散数学之类的东西,然后就是给工科研究生看的近现代数学基础,结果就完全不知所云了(所以又买了一本类似的,还是不行)。

最后的一本这样的东西是在上大学之前的暑假里看的,是给工科用的《模糊数学及其应用》(实在很烦最后这四个字),就前几章还有点意思;同时还看了一本《天才引导的历程》,是讲数学家故事的,深受感动!在那段日子里,我有了一些收获,至少给我后面学习专业的理论打下了一定的基础。

可是直到我在图书馆里找到了正规的书籍,自学的生涯才算是真正开始。

最早是一拿到书,先看前面是不是数学专业的,如果不是一般就不看;然后就去翻后面,看有没有习题解答。

就这样看了不少土著的书:大多是八十年代的自学丛书,现在看来是叙述罗嗦观点陈旧,实在不是什么好东西。

下面我就按照学科的顺序来具体谈谈那时的情况,可能专业的东西要多一些了。

先从分析谈起,虽然看了两本《数学分析》,但当时有许多地方都不是太明白。

进大学之前有幸买到一本相关习题集(只有单变量的情形),把它完成之后果然收获不少。

而多变量的情形,我后来看了弗列明的《多元函数》,不过到反函数定理部分没看明白,而切映射和外微分形式知道后来看《微分流形初步》的时候才算弄清楚。

而实变函数则是用的那本蓝色的自学书,后来当时没什么感觉,在《多元函数》里也有一点Lebesgue积分,才算是稍微明白一些。

后来还看了H-S的《实分析与抽象分析》,可能稍微早了一点,只看了前四大段,却用了一个学期。

复变函数因为高中时浏览过那本自学丛书(放暑假的时候赖在手里没还给图书馆),所以就换了一本叫解析函数什么的,接着又看了本选论,但到讲亚纯函数的时候就完全糊涂了。

此后,翻过Ahlfors的那本,是为了练习看原版书,不过后来还是直接看中文的了;又看了一点李忠的《复分析导引》,原来是准备作为黎曼曲面的参考书的,没想到被吸引过去了。

看泛函分析则最有意思,先看的是《巴拿赫空间引论》(因为后面有详细的习题解答),计划在一个暑假看完的,结果只看了两章。

后来看了一本初级的导论(应用的部分略过),虽然是给工科的,但前言中说也可以作为数学专业的入门书。

看完它之后,再看剩下的内容,除了像次加泛函这样过于专门的内容外,其他的都大体能看明白,接着又看了这个作者的另一本讲拓扑线性空间的入门书。

而在最后的日子里,则看了一点Rudin的《泛函分析》,结果又受到了挫折。

同样的挫折也发生在看周民强的《调和分析讲义》上,原来有答案的书也不是太容易读的,可能是之间跳过了Fourier分析。

后来就补上一本讲Fourier series 的,处理的方式比较现代,到第三章就介绍群代数了,不过看起来不是太困难。

后来到家里看的第一本就是Rudin的《实分析与复分析》,特别是实分析部分看得很有收获,还解决了几个比较困难的习题。

然后看了张恭庆的《泛函分析讲义》,主要是前六章的内容,没想到Hilbert空间中还有很多的算子理论,便顺水推舟的看了本讲Banach代数和算子理论的书。

如果再下去的话,恐怕是该看算子代数了。

不过后来总觉得多复分析比较神秘,恰好买了本Lars Hormander的《多复分析导引》,正在为其中的L^2理论苦恼,感觉和偏微分方程是有点像的,可惜我的理解还不是太深刻。

同时也觉得该看调和分析了,主要用Stein的书,尽管有的地方还看不大懂,但能看懂的部分就是一种享受。

再来谈代数,以前高等代数只是在一本大学数学里看了一章,非常想念Jordan标准型。

后来看北大的简明教程(只找到下册),算是有一个初步的印象。

所以,现在这方面仍然比较薄弱,不过好象也没什么太大影响,感觉高等代数似乎没什么后续的东西,矩阵论仿佛是给工科看的,还是抽象代数要有趣得多。

以前看过一本带“及其应用”的近世代数,所以这次选的是武大的(有点深度,也带答案,呵呵!),只可惜没讲模。

后来有幸找到一本专门的模论,是内部的翻译的讲义,看的很用心。

也就是从那本书开始,我发现只要有提示就可以顺利看完一本书了,好在很多书里的难题大多有提示。

接着,有幸找到vander Waerden《代数学I》的习题解答(也是内部讲义哦),因为当时手头借书名额有限(只能借7本书),就先藏在书架中间,等放假前再借回去看。

后来,看那本薄薄的《交换代数与同调代数》,前言里说是起点低、坡度大,对后者我是深有体会,看了五节就放弃了。

类似的遭遇还在于看一本《有限群导引》,序言里说抽象代数训练不够的人千万别看,硬着头皮看完了上册,下册是不敢再碰的了。

记得最后看的是一本GTM的往代数几何方向的交换代数(见下图),第一章居然介绍历史,很是不习惯,囫囵吞枣般看了十章,就离开学校了。

早知道就老老实实看McDonald的那本了,可那时觉得前面模讲得太多,不像是交换代数,呵呵!到家之后准备找本厚的代数书加强一下,正好看到Rotman的《抽象代数基础教程》,后来发现还有本叫《抽象代数》的要便宜一点,就买了后者(原以为是一样的呢)。

没想到买对了,前者只是本first course,后者就是那本Advanced Modern Algebra,弄懂了很多以前没弄懂的东西。

接着因为看完一本代数拓扑,自然想到去看同调代数,选了Charles A.weibel的《同调代数导论》,前面遇到了范畴的阻碍,后来买了本中文的《范畴论》算是平息了,可后面看到谱序列就彻底晕了。

同时因为后来讲李代数的同调,而李群论也老引用李代数的结论,就又找了Humphreys的小薄书《李代数与表示论导论》,可到后面就晕头转向了,好在是已经基本够用了。

此外,就是还想找本交换代数的书看看,可惜一直没有找到合适的。

接着回忆几何吧,高等几何和微分几何都用的那套蓝色的自学丛书,特别是微分几何,处理得太陈旧了,习题更是垃圾的计算,强烈建议有兴趣的朋友不要看那本!后来发现几本日本人写的小册子,习题都有提示解答,就看了本黎曼几何和配套的习题集,结果陷到了张量运算的迷宫里,到最后也没分清李导数和协变微分。

后来想重温一下微分几何,也是看了本日本人的精致的小书,感觉外微分标架很有意思。

同时,补充了一点doCarmo的内容,特别是很向往整体微分几何的部分,可惜后来有的东西没看明白(现在知道是从黎曼几何里下载的了)。

然后看的是《微分流形初步》,感觉比较详细,也可以说是有点罗嗦。

不过最后李群那章看得马虎了,因为快放假了,想换一本看看,反正李群是以后专门要看的,结果一直没腾出手来(我一般是三本书一起看的)。

最后的那本是AMS的书,也是一个日本人写的,被翻译成英文了,后几章没能真正理解,特别是讲丛的示性类那部分。

到家之后先看了两本黄色的《黎曼几何引论》,里面有不少地方都需要计算(发现自己越来越懒了),而后面的习题解答又太详细。

第一本还好,第二本就感觉费力了,对称空间要李群基础,总算腾出手来看李群了,却发现还有李代数的基础,等到李代数的书到手之后,原来激情已经没了:还是就事论事的李代数吧。

此外就是代数几何了,Hartshorne的名著到第二章之后带着答案都看不懂,这该算是我到家之后自学数学的最大挫折了。

受此影响,Griffiths的《代数几何原理》一直都没敢看,还是先找本讲椭圆曲线的入入门吧。

此外,发现AMS里有代数几何书还不错,可惜既买不到也买不起啊!回过头我们来看拓扑吧,最早对拓扑有感觉是看《多元函数》的第二章,还有H-S里的一大章,后来看北大的《基础拓扑学讲义》,也是因为后面有习题解答(提醒一下:千万别学我,这个习惯很不好!)。

后面的单纯同调论就没看明白多少,后来想看专门的代数拓扑,找了W.F.写的GTM教材,对低维处理的非常详细,也很强调群的作用和M-V列(国内的代数拓扑书好象几乎不介绍M-V列),可一样没介绍多少单纯同调。

同时,准备看两个日本人写的《拓扑空间论》,记得序言里说习题大都有提示,自学不会有太大困难,结果看到仿紧空间就不之所云了。

或许,其中缺了一环专门的点集拓扑,就找了本反例的习题集,看了点网和滤子之类东西,理解也不是在深入。

后来,又一直对微分拓扑有兴趣,在图书证注销之后,溜进图书馆看了Minlor的小书《从微分观点看拓扑》,觉得很有意思,可惜天太热,也没时间细读了。

到家之后买了两个日本人写的《拓扑空间论》继续钻研,可看了几段之后是头晕脑胀的,看来太深奥点集拓扑理论就只能是放弃了,还是看代数拓扑吧。

看完了Munkres的《代数拓扑基础》是一个很大的收获,发现原来还有这么有意思的同调理论,然后休息了大约半年,到现在开始看Robert M.Switzer的《代数拓扑》,好像是一本Advarced book哦!微分拓扑先看了张筑生的《微分拓扑新讲》,感觉不是太扎实,就又找了本GTM33,结果就不说了吧。

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