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练习1:求下列函数的导数:
(1)y3a2xb xc (2)y 1 (3)yx2 x x 12x2
(4)y(3x4)3 (5)ysi2n acxobsx 6x7
答案: (1 )y(2 a3 (a x b )2 3x a b2x x b c) x c(2 )y(12x2 2 )x12x2
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4
例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R= 10cm时,圆面积增加的速度.
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 R t = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 S t |R 1 0 2R R t |R 1 0 212 0
复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1)y(2x1)5
解:设y=u5,u=2x+1,则:
y x y u u x ( u 5 ) u ( 2 x 1 ) x 5 u 4 2 5 ( 2 x 1 ) 4 2 1 ( 2 x 1 ) 0 4 .
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算 法则,这就是复合函数的导数.
二、新课——复合函数的导数：
1.复合函数的概念:
对u的于函函数数, yu==f[((xx))是],令自u变=量x(x的),函若数y=,f则(u称)是y中=f[间变(x量)]
是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
1 (2) y (13x)4
解:设y=u-4,u=1-3x,则:
y x y u u x (u 4 ) u ( 1 3 x ) x 4 u 5 ( 3 ) 1 u 5 2 ( 1 1 3 x ) 5 2 .
(3)y(1si2nx)4 解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
设函数 u(x)在点x处有导数 ux (x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yuf(u),则复合函数 yf[(x)]
在点x处也有导数,且 yxyuux;或记 fx [(x) ]f(u)(x).
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu2u,ux3,从而 yxyuux1x81.2结果与我 们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
在书写时不要把 fx [(x)写]成 f[(x),两] 者是不完全
一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变
量 ( x)的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
解: y3(tx a )2(n tx a ) n 3ta 2xn (c sio x x)n s3(c sio x x)n 3sco xcso x css 2 oxix(sn six)n
3(c sio x x)n 2sc1 2 ox s3s2 ix n se 4x.c
解: y (2x2 3) 1 x2
解: y 4 ( 2 x 3 x 1 x ) 3 ( 2 x 3 x 1 x ) 4 ( 2 x 3 x 1 x ) 3 ( 6 x 2 x 1 2
(3)y=tan3x; (4) y(2x23) 1x2
解: y 1 5 ( 1 x x ) 5 4 ( 1 x x ) 1 5 ( 1 x x ) 5 4 ( 1 1 x )2 1 5 x 5 4 ( 1 x ) 5 6 .
y
1
4x(1x2)2
(2x2
3)1(1x2)12
2x
2
1
(2x2 3)(1 x2)2 ;
4x
1x2
x(2x23) 6x3x


.
1x2
1x2
(5):y=sin2(2x+π/3)
法法二一:: y y y 2 1 1 2 s [0 [1 s 2 icx n i 4 ox 4 n 3 sx) 2 ( ( c ( 2 )3 4 )] 2 o ]x ,2 s3 s i4 ) x n 2 ( 2 2 ()s . 4 ix n 2 3 ) ( .
复合函数的导数
一、复习与引入：
1. 函数的导数的定义与几何意义.
2.常见函数的导数公式.
3.导数的四则运算法则.
4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式 展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它 的办法求导呢? 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 y=-2/x3,那么函数 y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
yxyuu v vx(u 4)u(1 v2)v(sx )ix n 4 u 32 vco xs 4 (1 s2 ix n )32 sixn co x4 s(1 s2 ix n )3si2 x n .
说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.
例2:求下列函数的导数:(1)y=(2x3-x+1/x)4;
(3 )y 1 1 2 (x 5 1 x 9 2 ) 1 2 (5 x 4 9 2 x 7 2 )1 (4 ) 1( ( 3 6 3 x x 5 7 4 ) )4 2
( 5 ) b sb i n x ( 2 a b ) s2 ia n b ) x (( 2 a b ) s2 ia n b ) x .(