2. 通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型
教 学 容 提 要
一、问题的提出
常微分方程的一般形式
1) 函数方程(泛函方程):
2) 微分方程
A 常微分方程
B 偏微分方程
3)n阶常微分方程(n阶方程)
二、几个具体的例子
例1 物体作水平运动
例2 自由落体运动
例3 弹簧振子的水平自由运动
例4 天体运动中的二体问题
授课教师
伟年
职 称
教授
单 位
数学学院
授课时间
2005年9月—2006年1月
注：表中（ ）选项请打“√”
四 川 大 学 教 案
【理科】
周 次
第 一 周， 第 1 次课
章 节
名 称
第一讲: §1.1常微分方程模型
授 课
方 式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1. 了解常微分方程的一般形式
例5 几何问题
三、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。
作
业
、
选
作
题
习题1.1, 1, 2.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 家骐、周宝熙、卢亭鹤译, ：科学，1985.
四 川 大 学 教 案
【首页】
课程名称
常微分方程
授课专业
数学学院
年级
大二
课程编号
20122940
课程类型
必修课
校级公共课（ ）；基础或专业基础课（√）；专业课（ ）
选修课
限选课（ ）；任选课（ ）
授课方式
课堂讲授（√）；实践课（ ）
考核方式
考试（√）；考查（ ）
课程教学
总学时数
68
学 分 数
4
学时分配
选作题：
求以初速度在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为,阻尼与速度的平方成正比,比例系数为.又问物体达到最高点的时间是多少？
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 家骐、周宝熙、卢亭鹤译, ：科学，1985.
丁、承治, 常微分方程教程(第二版), ：高等教育, 2004.
王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, ：人民教育, 1963.
四 川 大 学 教 案
【理科】
周 次
第 二 周， 第 1 次课
章 节
名 称
第三讲: §.3基本问题
授 课
方 式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1. 含有n个参数的函数是一个n阶微分方程的通解。
2. 一个n阶微分方程的通解包含n个任意常数。
课堂讲授 56 学时； 习题课，测验等 12 学时
教材名称
《常微分方程》
作 者
伟年,
杜正东,
徐冰
及
出版时间
高等教育
2006.4
可选参考书
[1] V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 家骐、周宝熙、卢亭鹤译, ：科学，1985.
[2] 蔡燧林, 常微分方程, ：大学, 1988.
[3] 丁、承治, 常微分方程教程(第二版), ：高等教育, 2004.
周 次
第 二周， 第 2 次课
章 节
名 称
第四讲: §2.1变量分离形式
授 课
方 式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1. 什么是方程的隐式解
2. 什么是变量分离形式的方程
3. 分离变量法
4. 常数变易法
5. 可化为变量分离形式方程的求解
教 学 容 提 要
一、初等积分法
丁、承治, 常微分方程教程(第二版), ：高等教育, 2004.
王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, ：人民教育, 1963.
四 川 大 学 教 案
【理科】
周 次
第 一 周， 第 2 次课
章 节
名 称
第二讲: §1.2微分方程求解思想
授 课
方 式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
1 初等积分法的定义
2 微分方程的隐式解
二、变量分离方程
1 变量分离形式方程
2 方程通解的求法
3 方程特解的求法
例1
例 2
三、可化为变量分离方程的类型
1 一阶线性微分方程
教 学 容 提 要
一、主要结果
事实:微分方程的通解含有任意参数
问题:给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程,使得这个函数正好是这个方程的解呢?
定理
二、证明思路
1.Jacobi行列式不为0
2.建立方程组
3.求解参数
补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。
4.解与方程的对应
三、本讲习题
教
学
重
点
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V. I. Arnold (阿诺德), 常微分方程, 家骐、周宝熙、卢亭鹤译, ：科学，1985.
丁、承治, 常微分方程教程(第二版), ：高等教育, 2004.
王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, ：人民教育, 1963.
四 川 大 学 教 案
【理科】
与
难
点
难点：1 了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；
2 给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？
作
业
、
选
作
题
作业：
习题1.3 1(1)(3).
选作题：
平面上安放长度为的细磁棒,如果撒上一些小铁钉,他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷,磁量分别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而,画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.
目
的
及
要
求
1. 了解微分方程的精确解与近似解
2. 微分方程的几何分析
3. 给出微分方程形式的分类
教 学 容 提 要
一、计算与近似计算
1. 微分方程的解
2. 微分方程的通解与特解
3. 初值问题(Cauchy问题)
4. 近似解
二、几何分析
1. 积分曲线
2. 等倾线(isocline)
水平等倾线，竖直等倾线
[4] 金福临、训经, 常微分方程, ：科学技术, 1979.
[5] 林武忠、汪志鸣、九超, 常微分方程, ：科学，2003.
[6] 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松, 常微分方程(第二版), ：高等教育, 1983.
[7] 王柔怀、伍卓群, 常微分方程讲义, ：人民教育, 1963.
[8] 叶彦谦, 常微分方程讲义(第二版), ：人民教育, 1982.
例1
例2
三、微分方程形式
1. 隐式微分方程
2. 规形式
一阶方程
3. 一阶微分方程组
4. 线性微分方程
一阶线性微分方程的规形式
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：1 了解微分方程的精确解与近似解
2 掌握微分方程形式的分类
难点：在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析
作
业
、
选
作
题
作业：
习题1.2 1, 2，5(2).