v[n]

wk
[n]cos

2π 14
n


0.75wk
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[n]
cos

4π 15
n

选择窗参数β = 5.48，对应的相对旁瓣幅度Asl = -40dB
窗的长度L = 64，时间波形为
与加矩形窗的比较
矩形窗 Kaiser窗
DFT幅值
Kaiser窗 矩形窗
两个频率之差：ω1- ω0 = 2π/7.5-2π/14 = 0.389 Kaiser窗的主瓣宽度（β = 5.48，L = 64）Δml = 0.401 两个主瓣（在ω1和 ω0 ）仅有很少的重叠，可以清楚分辨。 若取窗长为L = 32
如：语音信号的频率成分 ----- 发声的物理器官，声腔的谐振（识别 与建模）
机器设备振动信号的频率分析----- 产生各种振动的部件，转 子、轴承、齿轮、箱体的振动与谐振（故障诊断）
Doppler雷达系统的频率分析 ------ 频移表示目标的速度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
X
(e j
)

1 T
r
Xc

j
T

j
2πr T

,
由于实际的连续抗混叠低通滤波器Haa(jΩ)不可能是理想的，上式的 周期叠加中有非零重叠 ----- 混叠
实际中采用：连续抗混叠低通滤波+过采样+数字低通滤波+降采样
无限长 有限长 -------- 截断 加窗 v[n] = w[n]x[n]
窗函数的傅立叶变换
两个频率为 0 (2π / 6) 104, 1 (2π / 3) 104 的傅立叶变换幅度
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (4π / 15) 104 的傅立叶变换幅度
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (2π / 12) 104 的傅立叶变换幅度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
表现语音的基本物理参数： 基音频率 共振峰频率
语言的特征矢量 Mel频率： 若干个特征频率段能量
DFT ------ 傅立叶变换的实际应用形式 信号分析的基础和核心
讨论在具体实际应用中的一些问题（注意）： （1）离散（时域、频域）在DFT分析中的影响 （2）实际的无限长信号（时域）的截断（加窗） （3）采样频率、信号长度、频域分辨率等参数选取 （4） 泄露误差、补零效应
m
Y (ej ) H (ej ) X (ej )
（2）对系统，系统特性的表征和分析
例：系统的频率响应

H (e j ) h[n]e jn
n
表示系统对不同频率信号的响应（输出）
（3）对信号，信号的分析和特征（提取）
信号的傅立叶分析 ------ 信号的频谱分析，分析信号中的频率成分 信号中的频率成分 ------ 直接与信号的实际物理参数相关
两个频率为 0 (2π / 14) 104, 1 (4π / 25) 104 的傅立叶变换幅度
1

2π 12.5
加窗前序列 x[n] A0 cos(0n 0 ) A1 cos(1n 1), n
X (e j ) -------- 在频率± ω0和± ω1处的脉冲（单一频率）

0.75
cos

2π 8
n

,
0.
窗仍为长度为64的矩形窗
0 n 63, 其它n
不同：正弦信号的频率与DFT的频率（谱线频率k）完全重合
即， ω1 = 2π/8 = 2π8/64 k = 8 ω0 = 2π/16 = 2π4/64 k = 4
谱采样的假象 即除谱峰外，其 它频率点均在零 点上，而非零值 只是没有采到而 已。 也称为栅栏效应
亦即，相邻k之间的频率间隔为10Hz ------ 称 频率分辨率 ΔΩ，Δf
问DFT的样本数N为多少？即，v[n]的长度 = x[n]截取的长度 ΔΩ = Ωk – Ωk-1 = 2π/NT ≤ 2π(10)
有 N ≥ 500
取N = 512 ----- Δf = 9.77Hz
考虑：采样频率、数据长度、频率分辨率之间的关系 （在不产生混叠情况下）
在频域表示卷积
V (ej ) 1 π X (e j )W (e j( ) )d
2 π
矩形窗截断的频域表示，时域加窗的频域效应----- 平滑（卷积效应） 加窗序列v[n] = w[n]x[n]的DFT表示：
N 1
V [k ] v[n]e j(2π/N)kn ,
n0
2
2
A1 w[n]e j1e j1n A1 w[n]e j1e j1n
2
2
由频移特性，得加窗序列的傅立叶变换
V (e j ) A0 e W j0 (e j(0 ) ) A0 e W j0 (e j(0 ) )
2
2
A1 e W j1 (e j(1) ) A1 e W j1 (e j(1) )
分辨率 窗函数W(ejω)的主瓣宽度 窗的长度L 泄漏 窗函数W(ejω)的主瓣和旁瓣的相对幅度 窗的形状
矩形窗
Wr (e j )

L1
e jn
n0

e j( L1)/2
sin[L / 2] sin( / 2)
主瓣最窄，但旁瓣幅度最大
Kaiser窗
wk
[n]

2
2
表示：在频率± ω0和± ω1处窗函数的傅立叶变换
例10.3 加窗对正弦信号傅立叶分析的影响 采样频率 fs = 1/T = 10 kHz，矩形窗w[n]长度为64 两个正弦信号的幅度和相位为
A0 = 1, A1= 0.75; θ0 = θ1 = 0 为了说明基本特性，有意只给出傅立叶变换的幅度
k 0,1,..., N 1
与序列的傅立叶变换V(ejω)之间的关系（窗长 = DFT长度）：
V[k] V (ej ) 2πk/N
必须清楚两个关系问题：
（1）Xc(jΩ)，X(ejω)，V(ejω)，V[k]之间的关系 （2）频率变量Ω，ω，k之间的关系
第一个问题其实：时域离散、时域加窗、频域离散
第十章 利用离散傅立叶变换 的信号傅立叶分析
Fourier Analysis of Signals Using the Discrete Fourier Transform
10.0 引言
傅立叶变换应用的三个主要方面：
（1）在理论上，作为一个数学工具
例

y[n] h[n] x[n] h[m]x[n m]

I0[
(1

[(n I0
) ( )
/

]2
)1/ 2
]
,
0 n L1
0,
其它
参数β和L可以调整主瓣宽度与旁瓣幅度
基本特性：相对旁瓣幅度与窗长无关，只取决于β
定义：主瓣幅度与最大旁瓣幅度之比（dB）= Asl 有
0.0,
0.76609( Asl 13.26)0.4 0.09834( Asl 13.26),
0.12438( Asl 6.3),
Asl 13.26, 13.26 Asl 60, 60 A 120.
主瓣宽度与窗的长度成反比，主瓣宽度、相对旁瓣幅度和窗长之间
的近似关系：
L
24π( Asl 12) 1 155ml
10.2.2 谱采样的影响
V[k] V (ej ) 2πk/N
第二个问题：
Ω与ω ------ ω = ΩT
------ 频率归一化
ω与k ------ ω = (2π/N)k
Ω与k ------
k

2πk NT
------ 频率离散化 ------ 离散频率与原连续频率
例10.1 利用DFT作傅立叶分析 连续带限信号：xc(t), 其傅立叶变换Xc(jΩ) = 0，当| Ω | ≥ 2π（2500） 假定Haa(jΩ)理想，采样频率为1/T = 5000样本每秒（即fs = 5000Hz） 要求V[k] 等于Xc(jΩ) 的样本，且相邻样本间隔最多为2π（10）
x[n] A0 cos(0n 0 ) A1 cos(1n 1),
式中ω0 = Ω0T，ω1 = Ω1T 加窗后的序列
n
v[n] A0w[n]cos(0n 0 ) A1w[n]cos(1n 1), n
用复指数表示
v[n] A0 w[n]e j0e j0n A0 w[n]e j0e j0n
注意近似表示的含义
10.2 正弦信号的DFT分析
讨论加窗截断的影响，泄漏、栅栏效应等误差
10.2.1 加窗的影响
两个不同频率的连续正弦信号之和
sc (t) A0 cos(0t 0 ) A1 cos(1t 1), t 假定理想采样，没有混叠，得到的离散时间信号
10.1 用DFT的信号傅立叶分析
回顾连续时间信号的离散傅立叶分析的处理步骤：
w[n]------ 截断用的窗函数 V[k] sc(t) ? 即：分析sc(t) ，xc(t), x[n], v[n], w[n]之间的关系
以及它们各自的傅里叶变换之间的关系
相应的频域表示：
滤波后的连续信号与离散后的序列，频域的关系：
加窗后序列 v[n] A0w[n]cos(0n 0 ) A1w[n]cos(1n 1), n
V (ej ) ---------在频率± ω0和± ω1处窗函数的傅立叶变换