福建省南安第一中学2018届高三数学上学期期末考试试题理一、选择题：1.已知全集 U = R ，设集合 A={x| y =lg(x_1)}，集合 B={y y = 2x ,xHl},则(C U B) =()A . 1,2] B. 1,2C 1,22.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧， 再将四段弧围成星形放在圆内 现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为 ( )B.1—1D.23.若复数z 满足z(i 7)= ——，则复数z 的虚部为()i 一1 A.-1 B . 0C. iD . 1A.丄B.啰c.10D.12225.已知函数 f (x) = ln(.. 1 x 2-x) 1，则f (Ig 2) +1f (ig-)等于()A. -1B.c.1D. 2()A. 212B . 211c . 2107•《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称 为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图 中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 ( )A.2 B. 4 2.2 C . 4 4：2 D . 6 421 118.如图，给出的是计算... + 的值的一个程序框图，2 4 100则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句是 ( )A. i 100, n = n 1 B . i 100, n = n 2C. i 50, n = n 2 D . i 三 50, n = n 2A.兀4.已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前项和,若则昕=( )6.已知(1x )n的展开式中第 4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为DA. 4 B . 2 6 C . 2 10D . —5210.已知函数f(x)二AsinC .x •「)( A,・均为正的常数)的最小正周期为 二，当x =--：3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )A. f (2) ：：：f(_2) ：：： f(0) B . f (0) ：：： f(2) ：：： f (-2) C. f (_2) ：：： f(0)：：： f (2) D . f (2) ：：： f(0) ：：： f (-2)u11.已知F 为抛物线y 2二x 的焦点，点A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，且OAOB =6 (O 为坐标原点)，若■ ABO 与 AFO 的面积分别为S ,和S 2，则S , - 4S 2最小值是()A. - 3B. 6C.13D.4、32 212.已知函数f x = In x 亠〔a-2 x-2 a 4( a - 0)若有且只有两个整数x 1 , x 2使得f 为 0,且f X 20,则a 的取值范围是()A. In 3,2B.〔2-1 n3,2C. 0,2-1 n31D. 0,2-1 n3二、填空题：13. 已知向量a = (1, -1), b = (6,-4),若a _ (ta • b)，则实数t 的值为x y 乞2 I 32 214. 若实数x, y 满足不等式组y-x —2 ,则(x+2) +(y-3)的最大值和最小值之和［心为15. 某运动队对 A,B,C,D 四位运动员进行选拔,只选一人参加比赛,在选拔结果公布前,甲、 乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说： “是C 或D 参加比赛”；乙说：“是B 参 加比赛”；丙说：“代D 都未参加比赛” ；丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位 说的话是对的，则9.已知双曲线b 2=1 (b . 0)的一条渐近线方程为斤，卩2分别为双曲线C 的左右焦点, P 为双曲线C 上的一点, | PF I |:|PF 2 1 = 3:1 ,则 |PF 「PF 2 | 的值是(获得参赛的运动员是BE16•在△ ABC中，若3sinC =2sin B ,点E , F分别是AC , AB的中点，贝U的取值范围为________ •三、解答题：(解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17.(12分)已知数列｛a n｝的前n项和& =4n-n2.(1)求数列｛a.｝的通项公式；「7 —a1(2)求数列二的前n项和T n.18.(12分)矩形ABCD中，AB =1, AD =2，点E为AD中点，沿BE 将 : ABE折起至PBE，如下图所示，点P在面BCDE的射影0落在BE上.(1)求证：BP _ CE ;(2)求二面角B - PC - D的余弦值.19. (12分)2018年某市创建文明城市圆满结束，成绩优异.在创建文明城市过程中，为增强市民的节能环保意识，该市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：20,25 , 25,30 , 30,35 , 1.35,40 , 40,45】.(1)求图中X的值,并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在35,40岁的人数；(2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中随机选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望.CF（1）求椭圆C 的方程及离心率;（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于 点N ,求证：四边形ABNM 的面积为定值.2 1 1 21. （12分）已知函数 f x =a x2aln ax . x2⑴设g x = f x 1，求函数g x 的单调区间；x⑵若a 0，设A X 1,f X 1 , B X 2, f X 2为函数f x 图象上不同的两点，且满足f 为 f =1，设线段AB 中点的横坐标为X 。
，证明：ax 。
1.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分。
标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点 0为极点，以x 轴正半轴为极轴）中,圆C 的方程为匸=2\5sin^.（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；⑵设圆C 与直线I 交于点A 、B .若点P 的坐标为（3,'..5），求PA PB .22.（10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为20.a b（t 为参数），在极坐参考答案一、选择题：(5X 12=60) (1) C (2) A (3) B (4) B (5) D (6) D(7) C (8) C (9) C(10) A(11) B(12) C:■、填空题：(4X 5=20)(13) -5 ;(14) 35 ；2(15)B ；(16) (和)4 811.【解析】设直线 AB 的方程为x = ty m ，点A %,% ,B x 2, y 2 ，直线AB 与x 轴交点 为M 0,m •••联立x -ty m ，可得y 2 =ty • m ，根据韦达定理得 y y 2 = -m 。
l y 2 =x2=6，即 ％ y 2 ]亠 y^i y 2 _ 6 = 0 ••• A, B 位于 x 轴的两侧• y 1 y^ -3••• m = 3设点A 在x 轴的上方，则y 1•/ F |1,012.【解析】由题意可知，f x ] >0 ,即Inx • a - 2 x -2a • 4 • 0, a • 0 ,ax -2a 2x -Inx -4 a 0, 设 g x =2x -lnx -4,h x =ax -2a , 由,可知g x =2x-Inx-4,在0,- 上为减函数，在 丄上为增x2 2函数，h x =ax-2a 的图象恒过点 2,0 ,在同一坐标系中作出 g x ,h x 的图象：若有且 a>0"a 》。
只有两个整数x 1,x 2,使得f (M p O ,且f(x 2 )A 0,则*h (1)〉g (1),即「—a a —2 ,解得、h(3 戶 g (3)兰 2T n30 ：a 乞2 — In3OA O B =6 • X i X 2 y i y 23•S 4“2 3yr4- 4y 1匕-2y < — - 62y1当且仅当 2y^—，即y^-时取等号122y 1• S 1 4S 2的最小值是6.j 1 g' x =2-丄xBE 2 _CF 2 -126 t 214 16‘64 ' CF 4’8三、解答本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）解：（1）当 n_2 时，&厂5-&4=4 n-n 2-”4 n-1j[ n-1? =5-2 n ， ............................... 3 分当n =1时，a 1 =3 =3适合上式,减得:16. 【解析】：E 为AC 中点，由cos/BEA - -cos/BEC 得 2BE同理可得2CF 2 =b2- a 2已知 3sin C = 2sin B , 3c = 2b ,.2BE 22b 2一八18，2CF 2 二a 2BE 2CP~18 + -- 9 18-』）2_____ a 18 14（b）2a 135126 98 -2丿1 214设-=t,a2结合c = —b ,「3 a c b ,-5b c a—< —25 a:::9.1351 1 49 ——U | —— -- 令b n7 - a n n 1nnJ ，2 2 所以T n =21 2Tn2 3 4 n —+——+——+ ... + _ 2 3n 1 + --- nd n ' 2两式相» —丿*2n=111- 1_2_ 1丄 22n10分11分故 T n =62n_12分18. （本小题满分12分）解：（1）由条件，点P在平面BCDE的射影0落在BE上.平面PBE_平面BCDE，................................. 1分BE = ..2,CE »2,：BC =2,. BE2 CE2=BC2................................................... 3 分BE _CE,；平面PBE _ 平面BCDE平面，PBE - 平面BCDE = BE,CE 平面BCDE CE _ 平面PBE , ...............................................而BP 二平面PBE PB _ CE（2）以o为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为则鸣知C i2詢，D W河，。
E歹.................................................... 8分设平面PCD的法向量为j = x-i, y-i, z-iX1=° - ，令…，可得■: =0,2"3%- 2乙=0 3设平面PBC的法向量为2 = x2,y2,z2;:芽化=0，令…，可得10分11分11考虑到二面角B - PC - D为钝二面角，则二面角B - PC - D的余弦值为12分T1 CD =0则J ，即.1 CP =01119. （本小题满分12分）解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除 35,40外的频率和为0.70,所以500名志愿者中，年龄在 35,40岁的人数为0.06 5 500=150（人）； （2）用分层抽样的方法，从中选取 20名,35岁”的人有12名，“年龄不低于 35岁”的人有8 名. （6分）故X 的分布列为:20. （本小题满分12 分） 解：（1）由题意得，a=2,b 二1,2所以椭圆C 的方程为—y 2 =14（11分）所以 EX =0141 282 443 11 =171285 95 95 3 57 二 95=9 "5 • （12 分）又c - a^b 2 “3所以离心率（5分）（2分）所以 x 」-0.7° =0.06 ,（4分）（5分）则其中年龄“低于 故X 的可能取值为 0,123 ，C 83 P X "二C 20匕,P （X =1）=2851小2 28C ；095P X =2i ；=C 12C844C ；211 C ；。