专题2 集合与常用逻辑典型题分类归纳一、单选题1．直角坐标平面中除去两点(1,1)A ､(2,2)B -可用集合表示为（ ）A ．{(,)|1,1,2,2}x y x y x y ≠≠≠≠-B ．1{(,)|1x x y y ≠⎧⎨≠⎩或2}2x y ≠⎧⎨≠-⎩ C ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+--++≠D ．2222{(,)|[(1)(1)][(2)(2)]0}x y x y x y -+-+-++≠2．下列有关命题的说法中错误．．的是（ ） A ．若p q ∧为假命题,则,p q 均为假命题B ．命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为:“若1x ≠，则2320x x -+≠”C ．若命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<,则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件3．已知a ∈R ，则“2a ≤”是“方程2210ax x ++=至少有一个负根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．函数()y f x =是R 上的可导函数，命题():p f x 既有极大值又有极小值，命题:q 方程()0f x '=至少有两个解，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件6．已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．下列结论中，正确的是（ ）A ．命题“23,230x x x ∀>-->”的否定是“20003,230x x x -≤∃-≤”B ．若命题“p q ∨”为真命题,则命题“p q ∧”为真命题C ．命题“若0x >，则2320x x -+>”的否命题是“若0x >，则2320x x -+≤”D ．“0a <”是“命题‘2[1,2],0x x a ∀∈-≥’为真命题”的充分不必要条件8．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥9．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是（ ）A ．7B ．11C ．13D ．1410．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1611．对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集.其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③12．（多选）下列命题为真命题的是（ ）A ．设命题p :n N ∃∈,22n n >.则p ⌝:n N ∀∈,22n n ≤;B ．若0a b >>,0c d <<,则a b d c<; C ．若()f x 是定义在R 上的减函数,则“0a b +≤”是“()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的充要条件; D ．若i a ,i b ,i c (1,2i =)是全不为0的实数,则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相等”的充分不必要条件.二、填空题13．定义：实数,,a b c 若满足2a c b +=，则称,,a b c 是等差的，若满足112a b c+=，则称,,a b c 是调和的.已知集合{}2017,M x x x Z =≤∈，集合P 是集合M 的三元子集，即{},,P a b c M =⊆，若集合P 中的元素,,a b c 既是等差的，又是调和的，则称集合P 为“好集”的个数是__________．14．对于集合{}22,,M a a x y x Z y Z ==-∈∈，给出如下三个结论：①如果{}21,B b b n n N ==+∈，那么B M ⊆；②若{}2,C c c n n N ==∈，对于c C ∀∈，则有c M ∈；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.④如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M +∈其中，正确结论的序号是__________.15．给出下列四个命题：①命题“若αβ=，则cos cos αβ=”的逆否命题；②“0x R ∃∈，使得2000x x ->”的否定是：“x R ∀∈，均有20x x -<”；③命题“24x =”是“2x =-”的充分不必要条件；④p ：{},,a a b c ∈，q ：{}{},,a a b c ⊆，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）16．已知下列命题：①命题“213x R x x ∃∈+>，”的否定是“213x R x x ∀∈+<，”； ②已知,p q 为两个命题，若p q ∨“”为假命题，则()()“”p q ⌝⌝∧为真命题； ③“2a >”是“5a >”的充分不必要条件； ④“若0,xy =则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号）17．已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ϕ”(I)具有性质“ϕ”的一个一次函数的解析式可以是 _____；(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“ϕ”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题18．已知全集U =R ，集合{4A x x =<-或1}x >，{|312}B x x =-≤-≤，（1）求A B 、()()U U A B ；（2）若集合{|211}M x k x k =-≤≤+是集合A 的子集，求实数k 的取值范围．19．已知集合{}|13A x x =-<<，集合(){}2|25250B x x k x k =+--<，k ∈R . （1）若1k =时，求B R ，A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.20．若()f x 对x R ∀∈，恒有2()()31f x f x x --=+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）令()(1)g x f x =-，求证：()()()222()g a g b g c g ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.21．（1）定义一种新的集合运算∆：{,}A B x x A x B ∆=∈∉∣且.若集合{}2|4920A x x x =++<，{|(2)(1)0}B x x x =-+>，设M B A =∆按运算∆：求集合M .（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围.22．已知ABC ∆的三边为a 、b 、c ，求证：二次方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有一个公共根的充要条件是90A ∠=.23．已知定义在R 上的函数()221xx a f x -=+是奇函数. （1）求实数a 的值，并求函数()f x 的值域；（2）若集合Q 为()f x 的值域，集合{}2log ,1U y y x x ==<，集合1,2P y y x x ⎧⎫==<-⎨⎬⎩⎭，求()U P Q .。