第3章杆件的内力分析3-1 试求图示圆截面杆横截面上内力分量。

3-2 试求图3-12所示的等截面杆横截面上内力分量。

解：沿任一横截面把圆杆截开，取其右段（或左段）研究，如图（b）所示。

显然横截面上的的内力分量只有轴力和扭矩，且有：N=F，T n=T，二者均大于零。

3-2 试求图示等截面杆横截面上内力分量。

解：沿任一横截面把杆截开，取其右段（或左段）研究，如图（b）所示。

显然横截面上的的内力分量只有轴力和弯矩（按正值方向假设），且有：N=F，M=-Fe。

3-3 试求图示各杆横截面上轴力（图中虚线表示力的作用位置），并作轴力图。

解：对于图（a）所示直杆，分别沿1-1、2-2、3-3把杆截开，取其右段（或左段）研究，各段受力图如下图所示（轴力按正值方向假设）。

各段横截面上轴力为：题3-3图(a) (b)题3-2图(a) (b)题3-1图N 1=-F ， N 2=-2F ， N 3=0。

轴力图如下：同理，对于图（b ）所示直杆，有（各段受力图略）： N 1=2F ，N 2=F ，N 2=3F 。

轴力图如下：3-4 试作出图示的两种齿轮布局的扭矩图，哪一种布局对提高传动轴强度有利？ 解：哪一种布局对提高传动轴强度有利的判断标准为看哪种布局的最大扭矩较小。

显然，图（a ）布局中的最大扭矩为：T nmax =T 2+T 3,而图（b ）布局中的最大扭矩为：T nmax =T 2 或T nmax =T 3。

所以，图（b ）的布局对提高传动轴强度有利。

○–-2F-FxF2F3F题3-4图3-5 试作出图示的各梁剪力图和弯矩图，并求出最大弯矩的值。

题3-5图解：以下所有求解均以梁最左端为坐标原点，以轴线为x 轴，建立坐标系，利用静力平衡方程求解。

（a ）求支座B 的约束反力，由静力平衡方程得：ql ql P R B 2=+=取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： )0()()(l x x l q qx P Q <<+⋅-=+-=)0(212122l x qlx qx qx x P M ≤≤--=-⋅-=作出剪力图和弯矩图，见图（a ），从图中可知： 剪力最大值为 ql Q 2max = 弯矩最大值为 2max23ql M=（b ）先求支座A 、B 约束反力，由静力平衡方程得： l aP R A ⋅-= （负号表示方向向下） ll a P R B )(+⋅=取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：AB 段：)0(l x la P R Q A <<⋅-==)0(l x x laP x R M A ≤≤⋅⋅-=⋅=BC 段：)(a l x l PQ +<<=)()(a l x l x a l P M +≤<-+⋅=作出剪力图和弯矩图，见图（b ），从图中可知： 剪力最大值为 P Q =max 弯矩最大值为 a P M⋅=max（c ）先求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得： 0=A R ， a P M A ⋅=取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：AC 段：)0(0a x Q <<=)0(a x a P M ≤≤⋅= CB 段：)2(a x a PQ <<-=)2()2(a x a x a P M ≤<-⋅=作出剪力图和弯矩图，见图（c ），从图中可知： P Q =max ，a P M⋅=max（d ）求支座A 、B 的约束反力，由静力平衡方程得： a q R a a q a R A A ⋅=⋅⋅=⋅41,212 a q a q a q R B ⋅=⋅-⋅=4341 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：AC 段：)0(41a x a q R Q A <<⋅==)0(41a x x a q M ≤≤⋅⋅=CB 段：x q a q a x q a q a x q R Q A ⋅-⋅=-⋅-⋅=-⋅-=45)(41)( )(21)(a x a x q x R M A -⋅⋅-⋅-⋅=2)(2141a x q x a q -⋅-⋅⋅= 即 )2(45a x a qx a q Q <<-⋅=)2()(21412a x a a x q x a q M ≤<-⋅-⋅⋅=作出剪力图和弯矩图，见图（d ），从图中可知：qa Q 43max =maxM出现在0=Q 处，即a x 45=处， 2max329qa M =（e ）求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得：Pa a P a P M P R A A 32,=⋅+⋅=-=（顺时针） 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：AC 段：)0(a x PQ <<-=)0(3a x Px Pa M ≤≤-=CB 段：)2(a x a PQ <<-=)2()2(a x a x a P M ≤<-=作出剪力图和弯矩图，见图P4-1（e ），从图中可知： P Q =max ，Pa M3max=（f ）求支座A 、B 约束反力，由静力平衡方程得： Pa Pa a P a R A 5234=+⋅=⋅，P R A 45= P P P P R B 47452=-+= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：AC 段：)0(45a x P Q <<=)0(45a x Px M ≤≤=CD 段：)3(4145a x a P P P Q <<=-=)3(41)(45a x a Pa Px a x P Px M ≤<+=--=DB 段：)43(47a x a P Q <<-=)43()4(47a x a x a P M ≤<-=作出剪力图和弯矩图，见图（f ），从图中可知： P Q 47max =，a P M ⋅=47max（g ）求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得： 221,ql M qlR A A == （顺时针） 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： )0()(l x x l q qx R Q A <<-=-=)0(2123212122222l x qx ql qx ql ql M ≤≤-=-+=作出剪力图和弯矩图，见图（g ），从图中可知： ql Q =max ，2max23ql M=（h ）求支座A 、B 的约束反力，由静力平衡方程得： 0)2(2122=+⋅-⋅Pa a q a R A ， 2qaR A =qa qa qa a q R B 25212=-+⋅= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AB 段：)20(2a x qx qaQ <<-=)20(21212a x qx qax M ≤≤-=BC 段：)32(a x a qa P Q <<==)32()3()3(a x a a x qa x a P M ≤<-=--=作出剪力图和弯矩图，见图（h ），从图中可知： qa Q 23max = maxM则可能出现在a x 21=或a x 2=处： 22181|qa M a x ==， 22|qa M a x -== 故 2maxqa M= （i ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：02212122=⎪⎭⎫⎝⎛+-l q ql l R A ， ql R A 83=ql ql ll q R B 8983)2(=-+= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AB 段： )0(83l x qx ql Q <<-=)0(21832l x qx qlx M ≤≤-=BC 段：)23()23()2(l x l x l q x l l q Q <<-=-+= )23()23(212l x l x l q M ≤<--= 作出剪力图和弯矩图，见图（i ），从图中可知：ql Q 8max = l x l x M ql l q l ql M ==<=⋅-⋅=|1289)83(218383|22832max81|ql M Ml x ===（j ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：0)(2)2(=⋅⋅-+⋅-+⋅a a q a a aq a a R A ， qa R A 35=qa R qa a q R A B 342=-+⋅= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)20(35a x qx qa qx R Q A <<-=-= )20(21352a x qx qax M ≤≤-=BC 段：)32(34a x a qa R Q B <<-=-= )32()3(34a x a x a qa M ≤<-=作出剪力图和弯矩图，见图（j ），从图中可知：qa Q 3max = 2235max1825)35(21)35(35|qa a q a qa M Ma x =⋅-⋅=== （k ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：0)22(22124.542=+⨯⨯-⨯+⋅A R ，kN R A 3.1=kN R B 3.14.53.1)22(2=--+⨯=取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下（以下所求Q 的单位均为kN ，M 单位为m kN ⋅）AC 段：)20(23.1m x x qx R Q A <<-=-=)20(3.12122m x x x qx x R M A ≤≤-=-⋅=BC 段：)42(27.67.64.5m x m xqx qx R Q A <<-=-=-+=)2(4.5212-⨯+-⋅=x qx x R M A)42(8.107.6212m x m x qx ≤<-+-=作出剪力图和弯矩图，见图（k ），从图中可知：7.2max =Q ， m kN M Mm x ⋅===4.1|2max（l ）由A 、B 支座具有完全对称性知，约束反力为：kN R A 3)141(21=++=kN R B 3=取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下（以下所求Q 的单位均为kN ，M 单位为m kN ⋅）CA 段：)10(1m x Q <<-=)10(1m x xx M ≤≤-=⋅-= AE 段：)21(213m x Q <<=-=)21(321)1(3m x x x x M ≤<-=⋅--⋅=EB 段：)32(2)341(m x Q <<-=-+-=)32(52)]1(3)2(41[m x x x x x M ≤<+-=---+⋅-= BD 段：)43(1m x Q <<=)43(4)4(1m x x x M ≤<-=-⋅-= 作出剪力图和弯矩图，见图（l ），从图中可知：kN Q 2max =， m kN M ⋅=1max（m ）求支座C 、B 处的约束反力，对C 点取矩，由静力平衡得： 02)2(2122=⋅-⋅+a R a q qa B qa qa qa R qa R C B 2123223=-== 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)0(0a x Q <<=)0(2a x qaM ≤<= CB 段：)3(23)(21a x a qa qx a x q qa Q <<+-=--=22)(21)(a x q a x R qa M C ---⋅+= 22)(21)(21a x q a x qa qa ---+= )3(23212a x a qax qx ≤<+-= 作出剪力图和弯矩图，见图（m ），从图中可知：qa Q 23max =2max89qa M = （a x 23=处）（n ）由对称性求得支座A 、B 处的约束反力为：kN R R B A 5)25(21=⨯⨯== 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)20(5m x Q <<=)20(5m x x M ≤≤⋅=CD 段：)42(515)2(55m x xx Q <<-=-⨯-= )42(101525)2(521522m x x x x x M ≤<-+-=-⨯⨯-= DB 段：)64(5m x Q <<-=)64(530)6(5m x x x M ≤<-=-⨯= 作出剪力图和弯矩图，见图（n ），从图中可知： kN Q 5max =m kN M M x ⋅===5.12|3max。