T
（6-16）
称为单元的节点力列阵；若 {F} 为外载荷，则称为载荷列阵。
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显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围 内，这种关系是线性的，可用下式表示
Fxi k11 F yi k21 M zi k31 F xj k41 Fyj k51 k61 M zj k12 k13 k14 k15 k16 ui v k22 k23 k24 k25 k26 i k32 k33 k34 k35 k36 zi u k42 k43 k44 k45 k46 j k52 k53 k54 k55 k56 v j k62 k63 k64 k65 k66 zj
5. 有限元方程求解
通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移， 进而根据位移可计算单元的应力及应变。
6. 结果分析与讨论
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有限元法的三种基本解法
应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析 方法的不同，有三种基本解法：
位移法 力法 混合法
(1)位移法
此法是以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数， 进行单元的力学特性分析。在节点处建立单元刚度方程，再组合成整 体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。 位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。所以 得到广泛应用，其缺点是精度稍低。
图6-14
平面简支梁元及其计算模型
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由上图可见： 梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产 生弯曲变形，在水平载荷作用下产生线位移。
对于该平面简支梁问题： 梁上任一点受有三个力的作用： 水平力Fx， 剪切力Fy ， 和弯矩Mz。 相应的位移为： 水平线位移u， 挠度v ， 和转角 z 。
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有限元法的基本思想及应用 平面问题有限元分析原理及步骤 有限元分析的前后处理 有限元法的设计应用及计算实例
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6.1 概述
在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏 微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度 场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种： 用解析法求得精确解； ● 用数值解法求其近似解。
根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体 内任一点位移的关系式。
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(2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节 点位移与节点力之间的关系矩阵 单元刚度矩阵。
与单元之间联接除了节点之外 再无任何关联。但是这种联接 要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。
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离散化的基本思想
4. 单元之间只能通过节点来传递内力。通过节点来传递的内力称 为节点力，作用在节点上的荷载称为节点荷载。当连续体受到外力作 用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个节点要产 生不同程度的位移，这种位移称 为节点位移。
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有限元法的分析过程可概括如下：
● 连续体离散化 ● 单元分析 ● 整体分析 ●
确定约束条件
● 有限元方程求解
● 结果分析与讨论
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1. 连续体离散化
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。 离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。 相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标；
6.2.1 单元划分方法及原则
连续体离散化时，要根据设计对象的具体情况（结构物的形状、 载荷特性、边界条件等），确定单元（网格）的大小和形状、单元 的数目以及划分方案。 图6-12所示为杆状单元。可有一维、二维和三维梁单元。
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图6-12
杆状单元
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常用的平面单元和多面体单元
图6-13 平面单元和多面体单元
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“ 有限元法 ” 的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出， 但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。
“ 有限元法 ” 这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough， R.W.）在一篇题为 “平面应力分析的有限元法” 论文中首先使用。 此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。
到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多 达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序 使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性 能分析的可靠依据。
确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。
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实例1——悬臂梁的离散化
图6-1
悬臂梁及其有限元模型
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离散化的基本思想
1. 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所 组成的组合体，简称离散化。 2. 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为节点。
3. 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元
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单元的划分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划分结果。 但应遵循以下划分原则： (1) 分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物， 是平面问题还是空间问题等等。 (2) 单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺 寸(大小)要按照要求确定。一般来说，单元几何形体各边的长度比不 能相差太大。 (3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工 作量就越大。 因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。
有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对 于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性 和粘塑性材料以及流体均能求解；
对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。
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到20世纪80年代初期，国际上已开发出了多种用于结构分析的有 限元通用程序，其中著名的有NASTRAN、ANSYS、ASKA、ADINA、 SAP等。 表5-1列出了几种国际上流行的商用有限元程序的应用范围。
3. 整体分析
把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单 元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。 集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。 节点变形协调条件: 就是说不破坏介质的连续性, 即变形后不撕裂不重叠。
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4. 确定约束条件
由上述所形成的整体平衡方程是一组线问题的边界约束条 件，并对这些方程进行适当修正。
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1. 直接刚度法
直接刚度法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析 单元特性的一种方法。这一方法仅能适用于简单形状的单元，如梁 单元。但它可以帮助理解有限元法的物理概念。 图6-14所示是xoy平面中的一简支梁简图，现以它为例，来说明 用直接刚度法建立单元刚度矩阵的思想和过程。
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(2)力法
该法是以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方 程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。 力法的特点是计算精度高。
(3)混合法
此法是取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建 立平衡方程进行求解。
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有限元法最初用于飞机结构的强度设计，由于它在理论上的通用 性，因而它可用于解决工程中的许多问题。 目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、 电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问 题。 机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞 机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。
Fxi , Fyi , M zi , Fxj , Fyj , M zj
写成矩阵形式为
q
(e)
ui , vi , zi , u j , v j , zj
T
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称为单元的节点位移列阵。
F
(e)
Fxi , Fyi , M zi , Fxj , Fyj , M zj
●
其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何 边界相当规则的少数问题。 而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。
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目前，工程中实用的数值解法主要有三种：
有限差分法 有限元法 边界元法
其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。 目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程 序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。
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几种有限元程序及其应用范围
程序名 应用 范围
ADINA √
ANSYS √
ASKA √
MARC √
NASTRAN √
SAP
非线性分析
塑性分析
断裂力学 热应力与蠕变 厚板厚壳
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