动，产生散射，相距R处的P点的散射强度Ie为：
e4 Ie I0 2 4 2 m c R 1 cos 2 2 2
e：电子电荷 m：质量 c：光速
I0 O
R 2
P
2 一个原子的散射
若原子序数为 Z ，核外有 Z 个电子，将 其视为点电荷，其电量为-Z· e
衍射角为0时：
晶格内全部原子散射波的振幅之和 F 一个电子的散射波振幅
晶胞对X光的散射为晶胞内每个原子散射的
加和。但并不是简单加和。每个原子的散射 强度是其位置的函数。加和前必须考虑每个 相对于原点的相差。
Intensity（强度） = |A|2
E = A sin(2t-) E1 = A1 sin1
(a)可见光在任意入射角方向均
能产生反射，而 X 射线则只能
在有限的布拉格角方向才产生 反射。就平面点阵（ h*k*l* ） 来说，只有入射角 θ 满足此方 程时，才能在相应的反射角方 向上产生衍射。
2 A B
1
1’


2’
C
hkl
dhkl
(1)
X射线衍射与可见光反射的差异
(b) 可见光的反射只是物 体表面上的光学现象， 而衍射则是一定厚度内
= AB – DC = h 为光程差，h为衍射级数，
其值为0，±1，±2…
S0
• 三维点阵，周期a,b,c分别沿X、Y、Z轴 构成原子立体网。 • 在推导衍射方程时做三点假设： • （1）入射线与衍射线都是平行波。 • （2）晶胞中只有一个原子，即晶胞是简 单的。 • （3）原子尺寸忽略不计，原子中各原子 发出的相干散射是由原子中心发出的。
体心晶胞，两原子坐标分别是（0,0,0）和（1/2,1/2,1/2）
F fe2 i 0 fe2 i h / 2k / 2l / 2 f 1 ei hk l
e ni 1
n


∴当（h+k+l）为偶数，F = 2f ，F2 = 4f 2
hkl S / 1/ C S0 / O
增大晶体产生衍射机率的方法
(1)入射方向不变，转动晶体
hkl
即 Ewald 球 不 动 ， 围 绕 O 点转动倒易晶格， 接触到球面的倒易点 代表的晶面均产生衍
1/ C
S /
S 0 /
O
射（转晶法的基础）。
增大晶体产生衍射机率的方法
(2) 固 定晶 体 ( 固 定倒 易 晶格 ) ，入射方向围绕 O 转动(即转动Ewald球)，
接触到Ewald球面的倒易
点 代 表 的晶 面 均 产生 衍 射(同转动晶体完全等效 )。

1/ S / 2 C S 0 /
hkl
H
O
Direction of direct beam
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
增大晶体产生衍射机率的方法
但与 O 间距 > 2/ 的倒 易点，无论如何转动都 不能与球面接触，即
• 3) 试解释下列术语：白色X射线；特征X 射线；段波限； Ewald 球；衍射矢量； 倒易球。 • explain the concepts of braking radiation; characteristic peaks; short wave limit; Ewald sphere; diffraction vector; reverse sphere.
第三节
晶体对X射线的衍射
1.1 衍射方向
确定衍射方向的几种方法：
Laue方程；
Bragg方程；
Ewald作图法。
1 Laue方程
一维点阵的单位矢量为a（即周期为|a|），入射X光单位 矢量为 S0 ，散射单位矢量为 S,,两相邻散射线发生增强干 涉现象的条件为光程差是波长的整倍数：
散射
S
a A 0 B C D a
3.2 衍射线的强度
• 相对强度: I相对=F2P（1+cos22θ / sin2θ cosθ ） e-2M 1/u 式 中：F——结构因子； P——多重性因子； 分式为角因子，其中θ 为衍射线的布拉格角； e-2M ——温度因子； 1/u-吸收因子。 以下重点介绍结构因子F
1 一个电子的散射
O点处有一电子，被强度I0的X射线照射发生受迫振
11’和22’的光程差 ＝AB＋BC＝2dhklsin
衍射条件： 2dhklsin=n
为整数1，2，3…
实际工作中所测的角度不是 角，而是
2 。2角是入射线和衍射线之间的夹角，
习惯上称 2角为衍射角，称为 Bragg角， 或衍射半角。
• 由2dsinθ=nλ（n为整数） • 这一著名的布拉格方程，（X射线晶体学中最基 本的公式）看出 n为衍射级数。第n级衍射的衍 射角由下式决定： • sinθn=nλ/2d
许多间距相同晶面共同
作用的结果。
1
1’

2 A B

C
hkl 2’
dhkl
(2)入射线波长与面间距关系
sin

2
/ d 1
所以要产生衍射，必须有
d > /2 这规定了X衍射分析的下限： 对于一定波长的X射线而言，晶体中能产生衍射 的晶面数是有限的。 对于一定晶体而言，在不同波长的X射线下，能 产生衍射的晶面数是不同的。

...... f n e
n 1
2 i ( hun kvn lwn )
强度 I |F|2
最简单情况，简单晶胞，仅在坐标原点
(0,0,0)处含有一个原子的晶胞
F fe
2
2i ( 0 )
f
F f
2
即F与hkl无关，所有晶面均有反射。
底心晶胞：两个原子， （0,0,0）（½,½,0)
•关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考： (1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。晶 体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一 客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没 有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了 X 射线和电子在晶体中的衍射，故成为有力手 段。
Ia Z Ie
2
其它情况下： I a f 2 I e
原子散射波的振幅 f 一个自由电子的散射波的振幅
f 相当于散射X射线的有效电子数，f < Z ，
称为原子的散射因子。 f 随波长变化， 波长越短，f 越小 f 随变化， 增大，f 减小
3一个晶胞对X射线的散射 与I原子＝f 2Ie类似 定义一个结构因子F：I晶胞＝|F|2Ie
E2 = A2 sin2
………..
E = Aj sinj
晶格的散射就是全部原子散射波的加和。但这些散射 波振幅不同，位相不同。
以原子散射因子f 代表A，代入位相差
Ae fe fe fe
i
i
2 iH r
2 i ( hu kv lw)
fe
2 i ( hu kv lw)
O S1=1/ C 2 S0=1 / 1/
入射S0、衍射矢量S及倒易矢量r*的端点均落在球面上
S的方向与大小均由
2所决定
O
S0 2 S S1 S
C S1 S1 S
凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件 若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生，衍 射线方向即球心C与球面上倒易点连线所指方向。
(4) 如需具体数学计算，仍要使用Bragg方程。
练习Exercise •1) 试解释Bragg 方程。 explain the physical meaning of Bragg’s law •2) 试简述X射线照射到固体物质上所产生 的物理信息。 explain the physical information occurring in solid struck by X-ray
d hkl

2

1/
hkl S / 2 C S 0 /
H
O
的晶面不可能发生衍射
Direction of direct beam
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
增大晶体产生衍射机率的方法
(3)改变波长， 使 Ewald球的数量增加， 球壁增厚（Laue法）
• 布拉格方程可以改写为2（dhkl/n）sinθ =λ 2dnh，nk，nlsinθ =λ 即可以把某一面网的n级衍射看成另一假想面(其 面网间距dhkl =d/n），这样， 我们仅要考虑的 是一级衍射， Bragg方程可以改写为：
2d sinθ=λ
3 关于Bragg方程的讨论
(1) X射线衍射与可见光反射的差异
O S1=1/ C 2 S0=1 / 1/
衍射矢量就是倒易矢量。
4 可以C点为球心，以1/为半
径作一球面，称为反射球
（Ewald 球）。衍射矢量的端 点必定在反射球面上
S S1 S 0
5 可以S0端点O点为原点，作 倒易空间，某倒易点（代表某 倒易矢量与hkl面网）的端点 如果在反射球面上， 说明该 r*=S, 满足Bragg’s Law。某倒 易点的端点如果不在反射球面 上， 说明不 满足Bragg’s Law， 可以直观地看出那些面网的衍 射状况。
S / 1/ C S 0 / O
hkl
增大晶体产生衍射机率的方法
4 Ewald 球不动，增加随 机分布的晶体数量，相 当于围绕O点转动倒易晶
S / 1/ C S0 / O hkl