D
:
02
r
R
2
cos
原式
y r R cos
o D Rx
2 R3
2 (1 sin3 ) d
30
数学分析电子教案
P124 6. 把积分 其中由曲面 所围成的闭区域 . 提示: 积分域为
化为三次积分, 及平面
:
1 1 x2y2
原式 dx dy f (x, y, z)dz 1 x2 0
数学分析电子教案 P124 7 (1) .计算积分
由球面 x2 y2 z2 1 所围成的闭区域 .
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 ,
利用 对称性可知原式为 0.
数学分析电子教案
9.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一
个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 ,问接上去的均匀矩形薄片
的另一边长度应为多少?
3. 掌握确定积分限的方法 图示法 (从内到外: 面、线、点) 列不等式法
数学分析电子教案
练习
P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3)
补充题: 计算积分
其中D 由
所围成.
解答提示: (接下页)
数学分析电子教案
P124 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
提示: 利用极坐标
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
形心坐标
5xA3 yA
[5 (1) 3 2]A 9
x
1 A
D
x
d xd y
y
1 A
D
y
d xd y
数例学3分. 析计电算子二教重案积分
(1) I D sgn( y x2 )dxdy, D : 1 x 1，0 y 1
(2) I ( x2 y2 2xy 2) dxdy, 其中D 为圆域 D
2
dx
0
f (x, y) d y
00
sin x
D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
1 arcsin y
dy
f (x, y) d x
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以教案 例4. 交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
解: 如图所示
o
D1
2
D2 x
I
dx
sin x
f (x, y) d y
在第一象限部分.
y
解:(1) 作辅助线 y x2 把与D 分成
1 D1
D1, D2 两部分,
I则 D1 dxdy D2 dxdy
1 o 1 x D2
1
dx
1
1
x2 dy
1
dx
1
x2
dy
0
2 3
数学(2分) 析提电示子: 教案
I D ( x2 y2 2xy 2) dxdy
y
作辅助线 y x 将D 分成 D1 , D2 两部分
P124 4,
数学分析电子教案 P124 4. 证明:
a dy
y em(ax) f (x)dx
a (a x)em(ax) f (x)dx
00
0
提示: 左端积分区域如图,
y a
交换积分顺序即可证得.
D yx
P124 7(2)求.
z
ln(x2 x2
y
y
2
2
z z2
2
1
1)
d
v,
ox
其中是
0
5
r2 dx
250
3
2
数学分析电子教案 补充题.
计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f (x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续,所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d
4
dy
6
12 y
y2 (x y)d x
2
dy
4
4 y
y2 (x y)d x
2
2
54311 15
数学分析电子教案 二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法
2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法
3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性
4. 利用重积分换元公式
练习题
P123 1 (总习题九) ; 7(2), 9 解答提示: (接下页)
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z
z R
R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , D1z
利用“先二后一” 计算方便 .
o x
y
原式 = R2 z2 dz 0
dxdy
D1 z
R R
z2 dz
2
d xd y
D2 z
R2 z2 (2Rz z2)dz
0
R R
z2 (R2
数学习分析题电子课教案
第九章
重积分的计算及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
数学分析电子教案一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.
2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .
提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 y 0, 即有
R
R2 x2
0 D yd x dy R d xb ydy
2 R3 R b2 3
由此解得 b 2R
y
y R2 x2
b ? Do
R
Rx
3
b
数学分析电子教案
例1. 计算二重积分 I (x2 xyex2 y2 ) dxdy ,其中: D (1) D为圆域
(2) D由直线
围成 .
解: (1) 利用对称性.
I x2 d x d y xyex2 y2 d x d y
D
D
y
1 2
D
(
x2
y
2
)
dxd
y
0
D
1
2
d
1
r
3
d
r
20
0
4
o 1x
数学分析电子教案
添加辅助线 y x, 将D 分为 D1, D2 ,
利用对称性 , 得
(2) 积分域如图:
xyex2 y2 dxd y
D1
xyex2 y2 dxd y
D2
1 x2 d x
x
dy 00
1
1
y
yx
o D2
D1
1x
1 y x
数学分析电子教案 例2. 计算二重积分
其中D 是由曲
线
所围成的平面域 .
解: I 5D x dxdy 3D y dxdy
积分区域 (x 1)2 ( y 2)2 32
z2)dz
2
59 R5
480
数学分析电子教案
P124 7 (3).计算三重积分
其中是由
xoy平面上曲线
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
所围成的闭区域 .
xx
z
提示: 利用柱坐标 y r cos
o
z r sin
1 2
r2
x
5
x5
y
: 0 r 10
0 2
原式
2 d
0
10 r3 dr