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【考点20】基本不等式2009年考题1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11333a b a b+是与的等比中项，则的最小值为（ ）A 8B 4C 1D 14【解析】选B. 因为333=⋅b a ，所以1=+b a ，1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=， 当且仅当b a a b =即21==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为（ ） B.23 D.21 【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a yx y x b a ====，1)2(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当a=b=3时等号成立）.3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ） A ．2B ．22C ．4D ．5【解析】选C. 因为11112222()4ab ab ab a b ab ab++≥+=+≥当且仅当11a b =，且1ab ab=，即a b =时，取“=”号。

4.（2009湖南高考）若x ∈(0,2π)则2tanx+tan(2π-x)的最小值为 . 【解析】由(0,)2x π∈，知1tan 0,tan()cot 0,2tan παααα>-==>所以12tan tan()2tan 22,2tan παααα+-=+≥当且仅当2tan 2α=时取等号，即最小值是22。

答案：225.（2009湖南高考）若0x >，则2x x+的最小值为 . 【解析】0x >222x x ⇒+≥，当且仅当22x x x=⇒=时取等号.答案：226.（2009湖南高考）若0x >，则2x x+的最小值为 . 【解析】选0x >222x x ⇒+≥，当且仅当22x x x=⇒=时取等号.答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】(1)当35A B m m =时，23535(20)(5)125B B B BB B B m m m h m m m m =⋅=++++甲235320(5)(20)35BB B B B B B m m m h m m m m =⋅=++++乙,h 甲=h 乙（2）当35AB m m =时， 2211=,20511(20)(5)(1)(1)100()251B B B B B B Bm h m m m m m m ==++++++甲由111[5,20][,]205B B m m ∈∈得，故当1120B m =即20,12B A m m ==时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10。

（3）由（2）知：0h =10 由010=125A B A B m m h h m m ⋅≥=++甲得：12552AB A B m m m m ++⋅≤， 令35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2x y ++≤。

同理，由010h h ≥=乙得：5(1)(14)2x y ++≤ 另一方面，1[,1]4x y ∈、141x x +∈+∈5、1+4y [2,5],、1+y [,2],255(14)(1),(1)(14),22y x y ++≤++≤当且仅当14x y ==，即A m =35B m 时，取等号。

由（1）知A m =35B m 时h 甲=h 乙所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。

8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则2y =45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=x360, 所以y=225x+2360360(0)x x-> (II)223600,225222536010800x x x>∴+≥⨯=104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x2360时，等号成立. 即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.2008年考题1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （A ）(,1]-∞- （B ）(,0)(1,)-∞+∞ （C ）[3,)+∞ （D ）(,1][3,)-∞-+∞ 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n a 中21a =∴当公比为1时，1231a a a ===，33S =； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）（B ）（C ）故选D ；方法2：∵等比数列{}n a 中21a =∴3123211(1)1S a a a a q q q q=++=++=++∴当公比0q >时，3111123S q q q q =+++⋅；当公比0q <时，3111()12()1S q q q q=-----⋅--∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞故选D ；方法3：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +或12x x+-，故选D ．2、（2008重庆高考）函数()x f x =的最大值为（ ） A ．25B ．12C 2D ．1【解析】选B.11()12x f x x x==（当且仅1x x=，即1x =时取等号）。

故选B 。

3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b a b +=且则（ ）A.12abB. 12ab C.222a b + D. 223a b +【解析】选C.由0,0ab,且2a b +=∴222224()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当a=b=1时等号成立∴222a b+。

4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选A.18a =112222188a x x x x x x ⇒+=+⨯=，另一方面对任意正数x ，21ax x +只要22221aa x x axx+⨯=218a⇒，所以选A. 5、（2008江西高考）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ） A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12【解析】选A.22121212121()()222a ab b a a b b ++++= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--11221221()a b a b a b a b ++12121122112111221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++∴112212a b a b +6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【解析】选A .1020,0x x x <->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式11()[(2)()]12(2)()1221f x x x xx=--+------=--有最大值.7、（2008江苏高考）2,,,230,y x y z R x y z xz *∈-+=的最小值为 。

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。

由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。

答案:38、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？ 【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9000.①广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)＝2ab +40b +25a +500＝18500+25a +40b≥18500+2b a 4025•=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85,代入①式得a =120，从而b =75. 即当a =120，b =75时,S 取得最小值24500.故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.方法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25 两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ,由此得y =,252018000+-x 广告的面积S =xy =x (252018000+-x )＝252018000+-x x ,整理得S =.18500)20(2520360000+-+-x x因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x =140，代入y =2018000-x +25,得y ＝175，即当x =140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 2007年考题1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）A 、22a b <B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <【解析】选C. 若0a b << 2a ≥2b ，A 不成立；若220,ab a b ab a b>⎧⇒<⎨<⎩B 不成立；若a =1，b =2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C.2.（2007重庆高考）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.22【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则222214414||.a b a b ab =-⇒+=≥1||.4ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=224()||2||14||14||14||ab ab a b ab ab ab ∴=≤=++++ 2244411()(2)4||||ab abab ==++-11||4,4||ab ab ≤∴≥242max ||2||324ab a b =+3.（2007山东高考）函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 ． 【解析】函数1(01)xy aa a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ，1110m n ⋅+⋅-=，1m n +=，,0m n >，（方法一）：122m n mn mn +≥， 1111224m n m n +≥⋅⋅=（当且仅当m=n=12时等号成立）.（方法二）：1111()()2224n m n m m n m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+⋅=（当且仅当m=n=12时等号成立）. 答案：4.4.（2007山东高考）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，121244()(2)4428.n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅= 答案：8.5.（2007上海高考）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号.答案:161。