（Ⅲ）假设在线段 PB 上存在一点 Q，使 PC⊥平面 ADQ，
∵P、Q、D 三点共线，则设 DQ (1 t)DP t DB ，又 DB 2,2,0， DP 0,0,2
∴ DQ (2t,2t,2 2t) ，又 DA 0,0,2
…………11 分
若 PC⊥平面 ADQ，又 PC (0,2,2)
x
D
y
B
E C
20.（15 分）设 F1, F2 分别为椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的左、右两个焦点.
（Ⅰ）若椭圆
C
上的点
A(1,
3 2
)到F1
,
F2
两点的距离之和等于
4，求椭圆
C
的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点 P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点， Q(0, 1 ),求 | PQ | 的最大值 。 2
∴AP∥平面 EFG
………………………………6 分 n (1,0,1)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 GEF 的法向量
，因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合
则它的一个法向量为 i =（1，0，0）………………………………8 分
设二面角 G EF D 为 .则
ni cos
1
2
…………9 分
由图形观察二面角 G EF D 为锐角n，故二2面 角2G-EF-D 的大小为 45°。………10 分
高二期末考试数学试题
一．选择题（每小题 5 分，满分６0 分）
１.设 l, m, n 均为直线,其中 m, n 在平面 a内,则“l ”是“l m且l n” 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
２.对于两个命题：
① x R, 1 sin x 1，
19．(15 分) 如图，金砂公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪
分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上.
（Ⅰ）设 AD＝ x ，DE＝ y ，求 y 关于 x 的函数关系式；
A
（Ⅱ）如果 DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则 DE 的位置应在哪里？请予以证明.
…………3 分
命题 Q ："x R, x2 2ax 2 a 0"
即方程 x2 2ax 2 a 0 有实数根 ∴ (2a)2 4(2 a) 0 a 2 或 a 1
.…………6 分
∵“ P 或 Q ”为真，“ P 且 Q ”为假，∴ P 与 Q 一真一假
…………8 分
当 P 真 Q 假时， 2 a 1；当 P 假 Q 真时， a 1
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面 EFG∥平面 PAB，又 PA 面 PAB，∴AP∥平面 EFG ……………………4 分
（2）∵平面 PDC⊥平面 ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面 PCD，而 BC∥AD，∴BC⊥面 EFD
过 C 作 CR⊥EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR，根据三垂线定理知
② x R,sin2 x cos2 x 1 ，
下列判断正确的是（ ）。
A. ① 假 ② 真
B. ① 真 ② 假
C. ① ② 都假 D. ① ② 都真
３.与椭圆 x 2 y 2 1共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是（ ） 4
A. x 2 y 2 1 2
B. x 2 y 2 1 4
∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故二面角 G-EF-D 的大小为 45°。
…………………8 分
（3）Q 点为 PB 的中点，取 PC 中点 M，则 QM∥BC，∴QM⊥PC
在等腰 Rt△PDC 中，DM⊥PC，∴PC⊥面 ADMQ
……………………1５分
１９(14 分)解: （1）在△ADE 中， y 2＝ x 2＋AE2－2 x ·AE·cos60°
21.（15 分）如图，设抛物线 C： x 2 4 y 的焦点为 F， P(x0 , y0 ) 为抛物线上的任一点（其中 x0 ≠0）， 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点．
（Ⅰ）证明： FP FQ ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）Q 点关于原点 O 的对称点为 M，过 M 点作平行于 PQ 的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若
弦值为___． 三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。）
17．（本小题满分 14）
设命题 P ："x R, x2 2x a" ，命题 Q ："x R, x2 2ax 2 a 0" ；
如果“ P 或 Q ”为真，“ P 且 Q ”为假，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
COE 60,CE OE OE 2 ,所以 CD OC2 OD2 2 ，因此直线 OC 与平面
AOB 所成角的正弦值 sin COD
2
2 ，本题亦可用向量法。１６. y ex
三．解答题：
１７解：命题 P ："x R, x2 2x a"
即 x2 2x (x 1)2 1 a 恒成立 a 1
9
2
2
11.过抛物线 x 2 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1 x1, y1 , P2 x2 , y2 两点，若 y1 y2 6 ，则 P1P2 的
值为 （ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
12..以 x 2 y 2 =1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 4 12
（）
A二.．x 2填空y题2 （每1 小题４B分. ）x 2 y 2 1 C. x 2 y 2 1 13．16已知1A2、B、C 三点不共1线2 ，1对6平面 ABC 外一1点6 O，4给出下列表达
由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. …….2 分
又点 A(1, 3)在椭圆上,因此
1
(3)2 2
1得b2
3,于是c 2
1.
…….4 分
2
22 b2
所以椭圆 C 的方程为
x2 4
y2 3
1,焦点F1 (1,0), F2 (1,0).
…….6 分
x2 （Ⅱ）设 P(x, y),则
AM MB ( 1) ，求 的值．
y A
MF P
B
O
x
Q
高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：ABCCB DCBDB DD 二、填空题：１３. 2 １4.8 １5. (,4)
3
１6.详解：由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 AOB 的平分线上作 DE OA 于 E ，连结 CE 则 由三垂线定理 CE OE ，设 DE 1 OE 1,OD 2 ，又
其中 x，y 是实数，若点 M 与 A、B、C 四点共面，则 x+y=___
D.
式：
OM xOA yOB 1 OC
3
14．
斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点，则 AB 等于___
15．若命题 P：“ x＞0， ax 2 2x2 0 ”是真命题 ，则实数 a 的取值范围是___． 16．已知 AOB 90 ， C 为空间中一点，且 AOC BOC 60 ，则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正
（）
A8
B 16
C 32
D 64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
６.在同一坐标系中，方程 a 2 x 2 b2 x 2 1与ax by 2 0(a b 0) 的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
x2 ７.已知椭圆
a2
y2 b2
1( a b >0)
的两个焦点 F1，F2，点 P 在椭圆上，则 PF1F2 的面积
0 0
(x, (x,
y, y,
z) z)
(0,1,0) (1,2,1)
0 0
y x
0 2y
z
0
y x
0 z
不妨设 z=1， 则 n (1,0,1)
………………………………4 分
AP n 2 1 2 0 1 2 0
………………………………5 分
AP n ，点 P 平面 EFG
则
PC PC
DA DQ
0 0
(0,2,-2) (0,2,-2)
(2,0,0) 0 (2t,2t,2 2t)02 Nhomakorabea2t
2(2
2t
)
0
t
1 2
…………1５分
DQ 1 (DP DB）
∴
2
，
………………………………13 分
故在线段 PB 上存在一点 Q，使 PC⊥平面 ADQ，且点 Q 为线段 PB 的中点。……1５分
）
5
10
5
10
A． 10 B． 10 C． 5 D． 5
10.若椭圆 mx2 ny 2 1(m 0, n 0)与直线y 1 x 交于 A，B 两点,过原点与线段 AB 中点的连线的斜率为
2
n
2 ，则 m 的值是(
)
A. 2 2 B. 2 C. 3 D . 2
y2
1 x2
4 4 y2
43
3
…….8 分
| PQ |2 x2 ( y 1 )2 4 4 y2 y2 y 1 1 y2 y 17 …….10 分
2
3
43
4
1(y 3)2 5 32
…….12 分
又 3 y