第3章 连续物体的运动一 基本要求1 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系。

2 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律。

3理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。

4理解刚体定轴转动的转动动能概念，能载有刚体绕定轴转动的问题中正确的应用机械能守恒定律。

5了解流体的特点，掌握理想流体的概念。

6掌握理想流体的连续性方程和伯努利方程。

7了解伯努利方程的应用。

二 基本概念1连续介质 在宏观力学的范围内如果能忽视物体内部的不连续性，把物体看作质量连续分布的质点系。

2刚体 大小和形状的变化可以忽略的连续介质。

3F 对定轴Z 的力矩：力F 的大小与O 点到力F 的作用线的垂直距离的d （力臂）乘积。

sin M Fd Fr θ== 或 M =r ×F4转动惯量 转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。

对于质点系的转动惯量1ni i i J m r ==∆∑ 。

如果物体的质量是连续分布的，上式可写为 2J r dm =⎰ 。

5 质点的角动量 质点m 对固定点O 的位矢为r ，质点m 对原点O 的角动量为 m =⨯=⨯L r p r υ6 冲量矩 力矩和作用时间的乘积，记作21t t t ⎰Md 。

7刚体定轴转动的角动量 21ni i i m r ==∑L ωJ =ω8力矩的功 W Md θ=⎰ 9力矩的功率 dW Md P M dt dtθω===10刚体的转动动能 221ωJ E k ＝11流体 处于液态和气态的物体的统称。

特点是物体各部分之间很容易发生相对运动，即流动性。

12理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。

13定常流动 流体流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。

在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。

14流线 为了形象地描述流体的运动, 在流体中画出一系列曲线,使曲线上每一点的切线方向与流经该点流体质点的速度方向相同, 这种曲线称为流线。

15流管 在定常流动中,通过流体中的每一点都可以画一条流线。

由流线围成的管状区域, 就称为流管。

16流量 单位时间内流过某一截面的流体体积, 称为流体流过该截面的体积。

三 基本规律1刚体定轴转动角量与线量的关系R υω= a τ=R α n a = R 2ω2转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，M J α=。

3相加性原理 对同一转轴而言，刚体总转动惯量等于各部分转动惯量之和。

4平行轴定理 质量为m 的刚体对过它质心的轴的转动惯量是c J ,如果有另一轴与该轴平行，两轴之间的距离为d,那么刚体对'Z O 轴的转动惯量为2o c J J md =+5质点的角动量定理 对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量2121t t t =-⎰Md LL6质点的角动量守恒定律 当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对参考点的角动量为一恒矢量。

7刚体定轴转动的角动量定理 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。

tt Mdt dL L L ==-⎰⎰LL8刚体定轴转动的角动量守恒定律 当刚体所受的的合外力矩为零，或者不受合外力的作用，刚体的角动量保持不变。

9刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于刚体的转动动能的增量，即2022121ωωJ J W －＝ 。

10理想流体的连续性方程 理想流体作定常流动时, 流体的速率与流管截面积的乘积是一个恒量, s υ = 恒量。

11伯努利方程 作定常流动的理想流体212p gy ρυρ++=恒量四 难点解析与问题讨论 1转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用与牛顿运动定律的应用相似。

牛顿运动定律应用的基础是受力解，而对于转动定律的应用，则不仅要进行受力解，还要进行力矩解。

按力矩解可用转动定律列出刚体定轴转动的动力学方程并求解出结果。

在刚体定轴转动定律的应用中还常常涉及到与牛顿运动定律的综合。

题目的复杂性相对较大，这也是大家注意的问题。

问题3.１如图所示，一轻杆（不计质量）长度为2l ，两端各固定一小球，A 球质量为2m ，B 球质量为m ，杆可绕过中心的水平轴O 在铅垂面内自由转动，求杆与竖直方向成θ角时的角加速度。

解 轻杆连接两个小球构成一个简单的刚性质点系统。

系统运动形式为绕O 轴的转动，应该用转动定律求解M J α= （1） 先解系统所受的合外力矩。

系统受外力有三个，即A 、B 受到的重力和轴的支撑作用力。

轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用。

以顺时针方向作为运动的正方向，则A 球受力矩为正，B 球受力矩为负，两个重力的力臂相等为sin d l θ=，故合力矩2sin sin sin M mgl mgl mgl θθθ=-=(2)系统的转动惯量为两个小球（可看作质点）的转动惯量之和22223J ml ml ml =+=图(3) 将（2）（3）式代入（1）式有 2sin 3mgl ml θα= 解得sin 3glθα=问题如图所示，有一匀质细杆长度为l ，质量为m ，可绕其一端的水平轴O 在铅垂面内自由转动。

当它自水平位置自由下摆到角位置时角加速度有多大？解 杆受到两个力的作用，一个是重力，一个是O 轴作用的支撑力。

O 轴的作用力的力臂为零，故只有重力提供力矩。

重力是作用在物体的各个质点上的，但对于刚体，可以看作是合力作用于重心。

即杆的中心，力臂为cos 2ld θ=。

杆对O轴的转动惯量为213ml 。

按转动定律有M J α=即解得 3cos 2glαθ=图O问题如图所示，一固定光滑斜面上装有一匀质圆盘A 作为定滑轮，轮上绕有轻绳（不计质量），绳上连接两重物B 和C 。

已知A 、B 、C 的质量均为m ，轮半径为r ，斜面倾角30θ=o 。

若轮轴的摩擦可忽略，轮子和绳子之间无相对滑动，求装置启动后两重物的加速度及绳中的张力？解 A 、B 、C 构成一个连接体，A 轮沿顺时针方向转动，B 物体向下运动，C 物体沿斜面向上运动。

设A 的角加速度为α，B 、C 加速度的大小相等设为a ，绳子中张力的大小在A 、B 间设为1T 、'1T （'11T T =），在A 、C 间设为2T 、'2T （'22T T =）。

1T 和2T 不相等，否则轮A 受合力矩将为零，就不可能随绳子运动了，这显然不符合题意。

对滑轮A ，滑轮所受的重力的力心在轴上，轮轴的支撑力也在轴上，它们的力臂均为零，故力矩也为零，所以只有绳子的张力1T 和2T 提供力矩，按转动定律有21212T r T r mr α-=对重物B ，按牛顿运动定律有 '1mg T ma -=对重物C ，按牛顿运动定律有图'2sin 30T mg ma -=o由于轮子和绳子之间无相对滑动，A 轮边缘的切向加速度和B 、C 加速度的大小相等，a a τ=，又按角量与线量关系a r τα=有 a r α=联立以上四个方程可解得0.2a g = 10.8T mg = 20.7T mg = 2刚体定轴转动的角动量和动能单个质点对轴的角动量：m =⨯⨯L r p =r υ 单个刚体对轴的角动量：共轴转动刚体系统的角动量：i i i L L J ω==∑∑定轴转动刚体的动能归结于质点系的动能，定义为组成刚体的各质点动能之和，即 212k ki i i E E m υ==∑∑其中i υ为第i 个质点的速率，i m 是它的质量。

按角量与线量关系i i r υω=，其中i r 为质点到轴的距离，ω为刚体转动的角速度，有222211()22k i i i i E m r m r ωω==∑∑由转动惯量的定义可知，其中的2i i m r ∑是刚体对定轴的转动惯量J ，故有转动动能公式是从质点动能公式212k E m υ=推导而来，最终的形式212k E J ω=也很象质点动能公式。

在公式的推导中我们看到，转动动能采用角量描述比用线量描述方便，这是由于在转动中各质点角速度ω相同而线速度i υ各不相同的缘故。

在已知刚体转动惯量的情况下，上述公式计算刚体的动能是非常方便的，要求大家必须掌握。

3刚体定轴转动的综合应用在一些刚体定轴转动问题中，会涉及到角动量守恒、机械能守恒的综合应用。

下面我们通过一些例题来予以说明。

问题如图所示，一匀质木棒长度l =1m ，质量为1m =10kg ，可绕其一端的光滑水平轴O 在铅垂面内自由转动。

初时棒自然下垂，一质量2m =0.05kg 的子弹沿水平方向以速度υ击入棒下端（嵌入其中），求棒获得的角速度及最大上摆角。

解 子弹击入木棒的过程可以看成是绕轴做转动，因此在碰撞过程中可以将子弹和木棒作为一个共轴转动系统来讨论。

子弹击入木棒的过程中，轴的支撑力及重力都不提供力矩（力臂为零），故系统对轴O 的角动量守恒。

击入前只有子弹有角动量02L m l υ=击入后设棒获得的角速度为ω，棒和子弹整体的转动惯量为2221213.383J m l m l kg m =+=⋅(1)击入后系统的角动量为图L J ω=由角动量守恒定律有0L L =，即 2m l J υω= 可解得棒的角速度12 2.9m lrad s Jυω-==⋅ (2) 在棒上摆的过程中只有保守力重力做功，系统的机械能守恒。

以棒刚开始上摆时的状态作为棒和子弹重力势能的零点，则此时系统只有动能212k E J ω=，其中J 和ω见（1）式和（2）式。

棒上摆到最大角度θ时动能为零，系统只有重力势能。

棒的重力势能为11(1cos )2p lE m g θ=⋅-，子弹的重力势能为22(1cos )p E m gl θ=-。

由机械能定恒定律有可解出212cos 10.701(2)J m m gl ωθ=-=+最大上摆角 45.5θ=o 4伯努利方程212p gy ρυρ++=恒量 上式各项分别表示单位体积流体的压力能P 、重力势能gh ρ和动能212ρυ。

在沿流线运动过程中，总和保持不变即总能量守恒。

显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小， 压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。

飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小 ，因而合力向上。

方程适用于全流场任意两点之间。

习题关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（ ） （A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关． （B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关． （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．解 转动惯量是描述刚体在转动中惯性大小的物理量。