n(z) n(0) exp( m*gz )， RT
其中m* m(1 0 )
1908年法国科学家 Perrin首次观测到，1926年 获得诺贝尔物理奖。
旋转体中悬浮粒子径向分布： ω
l
r dr
h
超速离心技术与同位素分离：
台风、飓风和龙卷风：
四、玻尔兹曼分布
设n1和n2分别表示在温度T的系统中，处于粒子能 量为ε 1的某一状态与ε 2的另一状态的粒子数密度。
例4 气体分子的自由度
将每个原子看作质点 所以分子是 质点系
单原子分子
t 3
双原子分子 多原子分子
t 3 r 2 s 1
t 3 r 3 s 3N 6
刚性分子 单原子分子 双原子分子 多原子分子
s0
t 3
t3 r2
t3 r3
i t r
i 3 i 5 i 6
n1

n2
exp(
1 2
kT
)
玻尔兹曼分布
对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子， 以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻尔兹曼 分布，只要粒子之间相互作用很小而可予忽略。
T

1 2
k ln( n1 )
n2
它表示处于平衡态的系统，在（无 相互作用）粒子的两个不同能量的状态 上的粒子数的比值与系统的温度及能量 之差有确定 的关系。
若受到限制自由度降低 平面上 2个 平动自由度 t=2 直线上 1个 平动自由度 t=1
例2 自由运动的刚体 (如大家熟悉的手榴弹)自由度？ 首先应明确刚体的振动自由度 s = 0 按基本运动分解：平动 + 转动 整体随某点(通常选质心)平动
cc
cc
c
6个自由度 t+ r = 3 + 3 = 6
定质心位置 需3个平动自由度
§2.7 能量均分定理
§2.7.1 理想气体的热容
定义热容：
c lim Q dQ T 0 T dT
C=νCm, C=mc
Cm为摩尔热容，c为比热
理想气体的内能： 对单原子理想气体
3
3
Um NA 2 kT 2 RT
理想气体的热容：
3 CV ,m 2 R
1 2
mvx2

n(z) n(0) exp( Mmgz ) RT
p+dp
系统 ρg
z+dz
z p
二、等温大气标高
定义大气标高：
kT RT H
mg M m g
大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映
了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。
三、悬浮微粒按高度的分布
设每一个微粒的质量为m，体积为V，微粒的密度为ρ 。
P101，2.24 1
小球可以看作质点 杆的直径可以忽略
小球可以看作质点
(1)
2 杆的直径不可以忽略
3
小球可以不看作质点
杆的直径可以忽略
(2)
2＋1＋1＝4
1＋1 2＋1 1＋1＋1
§2.7.3能量均分定理
能量按自由度均分定理（简称能量均分定理）---处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动 能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每 一个分子的每一个自由度的平均动能都是kT/2。
1 2
mv
2 y

1 2
mvz2

1 2
kT
每一个方向的平均平动动 能都均分 kT/2
§2.7.2 自由度与自由度数
描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为 该物体的自由度。而决定一个物体在空间的位置所需 的独立坐标数称为自由度数。
1)平动
质点
任一直线形成一组平行线
2)转动
3)振动
例1 自由运动的质点 (三维空间) 3 个 平动自由度 记作 t = 3
复习、提问
最概然速度＝？ 思考题2.14
§2.6 玻尔兹曼分布
一、等温大气压强公式
该系统达到平衡的条件为：
p A ( p dp) A gAdz, dp gdz
p dp
z mg dz
0p
0 kT
p(z) p(0) exp( M m gz ) RT
每一点绕过c 点的轴转动 共有 3个转动自由度
可以理解成物体系 对三个轴的旋转
例3 由 N 个独立的粒子组成的
质点系的自由度 (一般性讨论)
● 每个独立的粒子各有3个自度
系统最多有3N个自由度
●基本形式 平动 + 转动 + 振动
t
r
s
随某点平动 t = 3
过该点轴的转动
r=3
其余为振动
s = 3N-6
§2.7.6能量均分定理的局限 自由度的冻结
1、能量均分定理的局限
2、自由度的冻结
CV,m / R
7/2
振动 5/2
转动 3/2
平动
0 25 100 500 1000 5000 T / K 氢气CV,m---T曲线
课后作业
2.7.1 2.7.3
每一个分子的总的平均能量为： (t r 2v) kT 1 ikT，
22
注意
i t r 2v
1）、各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度。 2）、只有在平衡态下才成立。 3）、它是对大量分子统计平均所得结果。 4）、它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。 5）、气体：靠分子间大量无规则的碰撞来实现；液体、固体：分子间强相 互作用来实现