2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共注意事项:23题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5 .保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。

1. i(2+3i)=A . 3-2iB . 3 2iC . -3-2i D. -3 2i2.已知集合A<1,3,5,7 ?,B 二「2,3,4,5 ［贝U A P1B二A . ：3?B .C . ：3,5?D.「1,2,3,4,5,7?3.函数f(x)二e - ee2e的图象大致为2 x4.已知向量a , b满足| a|=1 , a b 二-1，则a (2a-b)=C . y」x2D. y~x2AC =5，贝U AB =绝密★启用前5.A. 4从2名男同学和B . 33名女同学中任选C . 22人参加社区服务，则选中D . 02人都是女同学的概率为6.A . 0.62 2 双曲线务 ^2 abB . 0.5 C. 0.4 D . 0.3=1( a 0,b 0)的离心率为.3，则其渐近线方程为A . 42B . .30C . 29 D. 2 5在△ABC中,111 118•为计算2 _2寸a m 99 -硕，设计了右侧的程A . i =i 1B . i =i 2C . i 二i 3D .i =i 4 9 •在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值为2B C2. 2 . 2 f (x) =cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则a的最大值是n- B .-4 211.已知F 1 , F 2是椭圆C 的两个焦点,则C 的离心率为\/3A. 1——212 .已知f (x)是定义域为(_：：,；)的奇函数，满足f(1-x) = f(1x).若f (1>2，则f ⑴ f(2)f(3)山 f(50) =A . -50二、 填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

13 .曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 ______________ .|x 2y -5> 0,14 .若x, y 满足约束条件 x -2y 3> 0,则z =x • y 的最大值为 _________________ .x-5 w 0,{ 5 n 115 .已知 tan a，贝V tan a - _________ .I 4丿516 .已知圆锥的顶点为 S ,母线SA , SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30 ,若厶SB的面积为8，则该圆锥的体积为 _____________ .三、 解答题：共70分。

解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。

第 22、23为选考题。

考生根据要求作答。

(一)必考题：共 60分。

序框图，则在空白框中应填入 D- ¥10.若 C . 3/ 4P 是C 上的一点，若 PF 1 _ PF 2，且/PF 2F 1 =60 ,B . 2-3 D . 5017. (12 分)记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a i =-7 ,隹二―15 . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求S n ，并求0的最小值. 18. （ 12 分）F 图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额归模型.根据 2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,山,17 )建立模型①：y =-30.4 J3.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,山，7 )建立模型②：？=99 17.5t . (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2) 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 19. (12 分)如图，在三棱锥 P-ABC 中，A^BC =2 2 ,PA =PB =PC =AC =4 , O 为 AC 的中点.(1) 证明：PO_平面ABC ;(2) 若点 M 在棱BC 上，且 MC =2MB ，求点C 到平面POM 的距离.20. (12 分)设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k 0) 的直线I 与C 交于A , B 两点，| AB| =8 .(1) 求I 的方程；y (单位：亿元)的折线图.■JiC(2)求过点A , B且与C的准线相切的圆的方程.21. （12 分）已知函数f(x)丄3 _a(x2 X 1).3(1)若a =3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f (x)只有一个零点.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)x2cos p在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为- '(B为参数)，直线I的参数方、y=4sin 0,程为乂“ tC0S a ( t为参数).y =2 +tsin a(1)求C和I的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为(1,2)，求I的斜率.23. ［选修4—5:不等式选讲］(10分)设函数f(x) =5-|x a|-|x-2| .(1)当a=1时，求不等式f (x) > 0的解集；(2)若f (x) < 1，求a的取值范围.绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案、选择题1. D2. C3. B4. B5. D6. A7. A8. B9. C10. C11 . D12. C、填空题13. y=2x-214. 915.326. 8 n三、解答题17•解：(1)设｛a n｝的公差为d,由题意得3a1+3d= -15.由a1=-得d=2.所以｛a n｝的通项公式为a n=2n -9. (2)由(1)得S n=n2-8n= (nF) 2-16.所以当n=4时，S h取得最小值，最小值为—6.1&解:(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为$= 430.4+13.5 19=226.1 (亿元).利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为§=99+17.5 S=256.5 (亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=£0.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势. 2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型$ =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19. 解:(1)因为AP=CP=AC=4, O为AC的中点，所以OP丄AC, 且OP = 2 .3 .石连结OB .因为AB=BC=」AC，所以△ABC为等 2腰直角三角形，且OB丄AC, OB=丄AC =2 .2由OP2 OB2=PB2知，OP丄OB .由OP丄OB, OP丄AC知PO丄平面ABC .(2)作CH丄OM,垂足为H .又由(1)可得OP丄CH，所以CH丄平面POM . 故CH的长为点C到平面POM的距离.文科数学试题第5页(共8页)由题设可知0C=[A C=2CM = -BC = 4-2，/ ACB=45°2 3 3所以OMn-J , CH= OC MC Sn ACB = 口 .3 OM 5所以点C到平面POM的距离为4卫.520. 解：（1，0），l 的方程为y=k（x-）（k>0）.设 A (X i, y i), B(X-, y-).由得y =4x2 2 2 2k x —(2k 4)x k 二0.222k-+4.■: =16k 16 =0 ,故x1x2—k2所以AB 二AF| -|BF =(为1) (x- “二4^42由题设知4k 2*4 =8，解得k=-（舍去），k=1 .k因此I的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为（3, 2）,所以AB的垂直平分线方程为y 2 _ -(x - 3),即y - -x 5 .设所求圆的圆心坐标为（X0, y°）,则y。

= 一x■ 5,(x0 •仁1)-16.解得y0 x0 =3,仝X。

=11,y°- -6.=2因此所求圆的方程为————(x—3) (y -2) =16或(x -11) (y 6) =144 .21.解:1(1)当a=3 时，f (x) =—x3-3x—-3x -3 , f ' (x) =x— -6x -3 .3令 f ' (x) =0 解得x= 3 _2.3 或x= 3 2.3.当x €( -oo 3_—胸)U( 3+275 , +8)时，f ' (x) >0;当x€( 3 -2、.3 , 3 - 2-、3 )时，f ' (x) <0.（1）由题意得F故f 0)在(-勺3_2典),(3+2応,+m)单调递增，在(3_2昶,3+2^/3 )单调递减.3⑺由于x2 x 1，所以f (x2°等价于宀4° .(x )在(-o, +s)单调递增.故 g (x )至多有一个零点，从而 f (x )至多有一个零点.2 11 2 1 1又 f (3a —) = _6a +2a — - = -6(a ——) ——cO , f (3a+1) =一>0，故 f (x )有一个零 3 6 63占八、、♦综上，f (X )只有一个零点. 1 1 2 2 1 2 3【注】因为 f (x)(x x 1)(x -1 - 3a) , x x 1 = (x ) 0 ,所以 3 3 2 41 2 f(1 3a ) 0, f(-2 - 3a ^-(x 2 x 1) <0. 3综上，f (x )只有一个零点. 22. 解：2 2(1) 曲线C 的直角坐标方程为—-1 .4 16当COSI =0时，I 的直角坐标方程为 y =tan> -X - 2 -tan> , 当cos 〉=0时，I 的直角坐标方程为 x =1 . (2)将I 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1 3cos 2 工)t 2 4(2cos 二" sin 、；Jt -8=0 .①因为曲线C 截直线I 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为 t 1 , t 2，则 t 1 ^2 =0 .又由①得t 1 t^ _4(2cos型-),故 2 cos si n , 于是直线l 的斜率1 +3cos ak = tan _ -2 .23. 解：(1)当 a =1 时，2x 4,x -1, f (x) =?2, —1 ：：： x 乞 2,-2x 6,x2.3X设 g(x)= p 3a ，则 g ' (x )X +x+1X 2(x 2 2x 3)(x 2x 1)2>0仅当x=0时g (x ) =0,所以g可得f(X)_0的解集为{x| / _x _3}.(2) f(x) <1 等价于|x a| |x_2|_4 .而|x a|・|x_2| |a 2|，且当x =2时等号成立.故由| a • 2 |丄4可得a z；-6或a丄2，所以a的取值范围是f(x) _1 等价于|a 2|_4 . (_：：,_6]U[2,；).。