但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称
为本质非线性。
定义：如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线
性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
2
7.1 概述
3
一、典型非线性特性
1、饱和特性
ke(t)
e(t) a
x ka
e(t) >a
ka e(t) a
n
tg 1
An Bn
x(e) x(e)
A0 0
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★ 由于x(t)的高次谐波幅值小于基波幅
值，且系统的线性部分 G(s) 具有低通滤
波性质，可以假设只有基波分量起作用， 而将高次谐波忽略不计。
基波分量为
x1(t) A1 cost B1 sin t X1 sin(t 1)
A1
1
2 0
x(t) cost
5
3、间隙特性
k e(t) a x k e(t) a
b signe(t)
特点
x(t) 0 x(t) 0 x(t) 0
x
b a 0 k
ae b
常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可 使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。
cn
6
主动齿轮
从动齿轮
4、继电器特性
x(t) b
0 e(t)
③系统中的线性部分具有较好的低通滤波特性。
设 e(t) Asin t ，则
x(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1 A0 X n sin(nt n ) n1
An
1
2 0
x(t) cos nt
d (t)
Bn
1
2 0
x(t) sin
nt
d (t)
X n An2 Bn2
d (t)
B1
1
2 0
x(t) sin t
d (t)
X1 A12 B12
1
tg 1
A1 B1
谐波线性化
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e(t) Asin t
x1(t) A1 cost B1 sin t X1 sin(t 1)
定义
描述函数为非线性特性输出的一次基波分量与输入正 弦量的复数比 。即
注意
N ( A) X1 e j1 A
a1
式中
a1
sin 1
a A
t
x(t)是单值奇函数
A0 0, A1 0
B1
1
2 0
x(t) sin t
d (t)
?
N ( A)
2k
sin
1
a A
a A
1
(
a A
)2
(A a)
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2、死区特性的描述函数
N ( A)
2k
2
sin1
a A
a A
1
(
a A
)
2
3、间隙特性的描述函数
(A a)
① 非线性元件含有储能元件时，描述函数记作 N ( A,)
②非线性特性为单值奇函数时， N ( A) B1
A
为什么？
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二、典型非线性特性的描述函数
1、饱和特性的描述函数
x
x
x(t)
kAsin t 0 t a1
a k
0 ae
0 a1 a1
t
ka a1 t a1
0A
a1
e
kAsin t -a1 t
r 0 - e G1(s) x N (A) y G2(s) c
x
y
N (A)
G(s)
G(s) G1(s)G2 (s)
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1、非线性系统的稳定性分析
经谐波线性化后系统的 闭环频率特性为
C( j) N ( A)G( j) R( j) 1 N ( A)G( j)
11
一、描述函数的基本概念
★ 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线
性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量 表示其输出。
描述函数法要求系统满足下列条件：
①系统结构图可化为下列典型形式
r0 e
x
- N (A) G(s)
c
N ( A)
非线性环节特性， G(s)
线性环节特性
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②非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即 x(e) x(e)
件和外加输入信号无关。
2、非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也
可能会发生自持振荡 。
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
8
3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统的
输出将不再是同频率的正弦信号，而是包含有各种谐波分量的非正弦周期 函数。
e(t )
x(t )
N ( A)
N ( A) N1( A) N2 ( A) ⑵非线性特性的串联
e(t )
N1( A)
x(t
x(t )
N ( A)
× N ( A) N1( A)N2 ( A)
参见P194 死区+饱和 18
三、非线性系统的描述函数分析
非线性系统结构图的化简
第七章 非线性控制系统
1
引言：
前面研究的线性系统满足叠加性 和齐次性；
严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统；
一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性 虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理；
4、非线性系统不能使用叠加原理
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三、非线性系统的分析方法和研究内容
分析方法
数值解法
描述函数法 √ 相平面法 √
李雅普诺夫直接法 波波夫法
对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；
（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振 荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
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7.2 描述函数法
b
(a)
x(t)
b
a
0
a e(t)
b
(c)
x(t) b
a 0 a e(t)
b
(b)
x(t) b
a ma 0 ma a e(t)
b
(d )
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二、非线性系统的特点
1、非线性系统的稳定性 不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统
的初始条件和外加输入信号无关。 线性系统的稳定性只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始条
N ( A) B1 j A1 AA
k
2
sin1(1
2a ) 2(1 A
2a ) A
a A
(1
a) A
j 4ka ( a 1)
A A
4、理想继电器特性的描述函数
( A a)
N ( A) 4b
A
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5、组合非线性特性的描述函数 ⑴非线性特性的并联
e(t )
N1( A)
x(t )
N2 ( A)
其中：e(t) 输入,x 输出
特点
常见于放大器中，在大信 号作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
x k a 0a e
K k a 0 a e
4
2、死区特性
0
x k e(t) a k e(t) a
e(t) a e(t) >a e(t) < a
x
a k 0a e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。