第4章）（公式计划实际总2-4%100⨯=∑∑XX K计划任务数为平均数时）（公式计划实际平3-4%100⨯=X X K(ⅰ)当计划任务数表现为提高率时）（公式计划提高百分数实际提高百分数4-4%10011⨯++=Kⅱ)当计划任务数表现为降低率时时间进度=）（公式全期时间截止到本期的累计时间7-4%100⨯8)-4(%100公式数计划期间计划规定累计数计划期间实际完成累计计划完成程度相对指标⨯= ）（公式水平计划规定末期应达到的平计划末期实际达到的水计划完成程度相对指标9-4%100⨯=(%100公总体的全部数值总体中某一部分数值结构相对指标⨯=)11-4(公式总体中另一部分数值总体中某一部分数值比例相对指标=)12-4(公式单位）的同一指标数值同时期乙地区（部门或的某一指标数值甲地区（部门或单位）比较相对指标=)13-4(公式联系的总量指标数值另一性质不同但有一定某一总量指标数值强度相对数=%100⨯=计划任务数实际完成数计划完成程度相对指标5)-4( %100-11公式计划降低百分数实际降低百分数⨯-=K %100⨯=全期的计划任务数本期内累计实际完成数计划执行进度14)-4(%100公式该指标基期数值某指标报告期数值动态相对数⨯=对于分组数据,众数的求解公式为:df f f f f f M m m m m m m ⨯-+---≈+-+)()(U 1110上限公式： df f f f f f M m m m m m m ⨯-+---≈+-+)()(U 1110上限公式：对于分组的数值型数据,中位数按照下述公式求解: 对于分组的数值型数据,四分位数按照下述公式求解: LL L L L d f S n L Q ⨯-+≈-14 u U U U U d f S n L Q ⨯-+≈-143(1)简单算数平均数 (2)加权算数平均数nxx ni i∑==1∑∑∑∑====⋅==ki ki iii ki iki ii ff x f fx x 1111各变量值与算术平均数的离差之与为零。

各变量值与算术平均数的离差平方与为最小。

2、调与平均数(Harmonic mean)(1)简单调与平均数 (2)加权调与平均数 3、几何平均数 (1)简单几何平均数 (2)加权几何平均数d f s nL M m m e ⨯-+=-12下限公式：d f s n M mm e ⨯-=+12-U 上限公式：()0()0x x x x f-=-=∑∑或22()min ()min x x x x f -=-=∑∑或∑==+++=ni in H x nx x x nx 12111...11∑∑===++++++=ni ii ni inn nH x m mx m x m x m m m m x 11221121......nni in n G xx x x x ∏==⋅⋅⋅=121...∑⋅⋅⋅==ni inf f nff G x x x x 121 (21)一、分类数据:异众比率 二、顺序数据:四分位差三、数值型数据的离散程度测度值1、极差(Range) )m in()m ax (i i x x R -=2、平均差(1)如果数据就是未分组数据(原始数据),则用简单算术平均法来计算平均差:)(1为变量值个数n nxx M ni i d ∑=-=(2)如果数据就是分组数据,采用加权算术平均法来计算平均差:)(11为组数k ffx x M ki iki ii d ∑∑==-=3、方差(Variance)与标准差 总体方差与标准差的计算公式:方差:(未分组数据) (分组数据)NX Ni i ∑=-=122)(μσNf X Ki i i ∑=-=122)(μσ标准差:(未分组数据) (分组数据)NX Ni i ∑=-=12)(μσNf X Ki i i ∑=-=12)(μσ样本方差与标准差 方差的计算公式∑∑∑-=-=imimirf f f f f V 1Lu d Q Q Q -=未分组数据 : 分组数据:1)(122--=∑=n x x s ni i1)(122--=∑=n f x x s ki i i标准差的计算公式未分组数据 : 分组数据:1)(12--=∑=n x x s ni i1)(12--=∑=n f x x s ki i i4、变异系数(离散系数) 标准差系数计算公式X v σσ= x sv s =一、分布的偏态对未分组数据 对分组数据二、分布的峰态(未分组数据) 对已分组数据第5章离散型随机变量的概率分布 (2)二项分布 (3) 泊松分布:当n 很大,p 很小时,B(n,p)可近似瞧成参数λ=np 的P(λ)、即,(总体离散系数)(样本离散系数)()()()3321s n n xx n sk i ---=∑()313nsf x x sk ki ii∑=-=()()()[]()()()()4224321131s n n n n xx x x n n k i i -------+=∑∑()3414--=∑=nsf x xk ki iiλλ-==e k k X P k!)({}lim (1),0,1,2,!kk kn k n n P X k C p p e k k λλ--→∞==-≈=L分布函数F (x ) 的性质:(a )单调性 若 ,则 (b )有界性 (c )右连续性(d )对任意的x 0 若F (x )在X =x 0处连续,则 连续型随机变量的概率分布概率密度函数 f (x )的性质 (a)非负性 f (x ) ≥0;(b)归一性 ;(c) ;(d)在f (x )的连续点x 处,有 (e) 几种常见的连续型分布(1)均匀分布若随机变量X 的概率密度为 则称X 在(a ,b )上服从均匀分布,记为X ～U (a ,b )、另:对于 , 我们有、随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望: 数学期望的性质性质1、 设C 就是常数,则E(C)=C;性质2、 若X 与Y 相互独立,则 E(XY)=E(X)E(Y); 性质3、 E(X ±Y) =E(X) ±E(Y) ; 性质4、 设C 就是常数,则 E(CX)=C E(X)。

性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形。

()()()i i i ix x x xF x P X x P X x p ≤≤=≤===∑∑12x x <12()()F x F x ≤()()()P a x b F b F a <≤=-0()1F x ≤≤lim ()1x F x →+∞=lim ()0x F x →-∞=00lim ()()x x F x F x +→=000()()(0)P X x F x F x ==--0()0P X x ==⎰∞-=x dt t f x F )()(()1f x dx ∞-∞=⎰()()()()b a P a x b F b F a f x dx <≤=-=⎰()()f x F x '=()()()()P a X b P a X b P a X b P a X b ≤≤=<≤=≤<=<<1()0a x b f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他a c d b ≤<≤()d cP c X d b a-<≤=-(2)指数分布若随机变量X 的概率密度为 其中常数 ,则称X 服从参数为λ 的指数分布,相应的分布函数为 ,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩0λ>1,0()0,x e x F x x λ-⎧-≥=⎨<⎩01i ii EX x p ∞==∑()EX xf x dx+∞-∞=⎰常见的离散型随机变量的数学期望 : (a)两点分布 若X ～B(1,p),则EX=p 、 (b)二项分布 若X ～B(n,p),则EX=np 、 (c)泊松分布 若X ～P( ),则EX= 、 常见的连续型随机变量的数学期望:(a)均匀分布: 设X ～U (a ,b ),则EX =(a +b )/2。

(b)指数分布: 设X 服从参数为 的指数分布,则 EX = 。

*方差的性质性质1 设X 就是一个随机变量,C 为常数,则有 D (C )=0; 性质2 D (CX )=C 2DX ;性质3 若X 与Y 相互独立,则D (X ±Y ) =D (X ) +D (Y ) 特别地 D (X -C )=DX; 性质3可以推广到n 个随机变量的情形。

性质4 DX =0的充要条件就是X 以概率1取常数EX 。

常见的离散型随机变量的方差:(a)两点分布 若X ～B (1,p ),则DX =p (1-p ); (b)二项分布 若X ～B (n ,p ),则DX =np (1-p ); (c)泊松分布 若X ～P ( ),则DX = 。

常见的连续型随机变量的方差:(a)均匀分布 设X ～U (a ,b ),则DX =(b -a )2/12;(b)指数分布 设X 服从参数为 的指数分布,则 DX = 。

离散型随机变量的数字特征:λλλ1λλλλ21λ()∑==+++=Ni ii n n P X P X P X P X X E 12211Λ期望：()()[]P X E X X σ Ni i i ∑=⋅-=122：方差()()[]∑=⋅-=Ni ii P X E X X σ 12：标准差λλ重置抽样下的抽样分布 考虑顺序时:样本个数=N n =52=25不考虑顺序时:样本个数=不重置抽样下的抽样分布 考虑顺序时:样本个数=不考虑顺序时:样本个数=与重复抽样相比,不重复抽样平均误差就是在重复抽样平均误差的基础上,再乘以修正系数 即: 正态分布密度函数及其数学性质正态分布的密度函数:nn2in n ()() 2221x f x eμσ--=⋅()2X N μσ~记作，!()!!n NN C N n n =-()E x μ=2()1N nD x n N σ-=-2()D x nσ=()E x μ=1(1)!(1)!!nN n N n C N n +-+-=-!()!n NN P N n =-正态分布的分布函数:标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数:()1()x x Φ-=-Φ对任意正态分布作变换第六章二、 总体平均数的检验1、大样本( 30n ≥ )(σ2 已知或σ2未知)● 假定条件总体服从正态分布若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n ≥30) ● 使用Z-统计量 σ2 已知:σ2 未知: 2、 小样本(30n < ) (σ2 已知或σ2未知)● 假定条件:总体服从正态分布, 小样本(n < 30) ● 检验统计量 σ 2 已知:()() 222-1dtt xF x eμσ--∞=⋅⎰() 221x x eϕ-=⋅()01X N ~记作，() 22-1dtt x x e -∞Φ=⋅⎰(0)0.5Φ=()2N μσ，，()0 1X Z N μσ-=～，)1,0(~0N nX Z σμ-=)1,0(~0N nS X Z μ-=)1,0(~0N nx z σμ-=σ 2 未知:均值的单尾 t 检验检验统计量:三、总体比例的检验 ● 假定条件: 1、有两类结果;2、总体服从二项分布;3、可用正态分布来近似。