cos(u cos(u
v) v)
cos(u v) cos(u v)
cos cos
2s 2s
cos 2t cos 2t
。
一阶全微分的形式不变性
以下总假设讨论的函数满足相应的可微条件。 设 z f (x, y) 为二元函数，那么当 x, y 为自变量时，
d z z d x z d y 。
x x[u(s,t),v(s,t)],
y
y[u(s, t ), v(s, t )],
(s,t) Dg 。
如果 f 和 g 分别在 Df 与 Dg 上具有连续导数，那么由定理 12.2.1
x (s,t) x (u, v) u (s,t) x (u, v) v (s,t),
s
u s
v s
x (s,t) x (u, v) u (s,t) x (u, v) v (s,t),
x u
z y
y u
2x y
1
x2 y2
2
2(u 2v) 2u v
2(u 2v)2 (2u v)2
2(u 2v)(u 3v) (2u v)2
。
z v
z x
x v
z y
y v
2x y
(2)
x2 y2
1
4(u 2v) (u 2v)2 2u v (2u v)2
(2v u)(9u 2v) (2u v)2
§2 多元复合函数的求导法则
链式规则 设 z f (x, y), (x, y) Df 是区域 Df R2 上的二元函数，而
g : Dg → R2 ,
(u, v) (x(u, v), y(u, v))
是区域 Dg R2 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g(Dg ) Df ， 那么可以构造复合函数
z f g f [x(u, v), y(u, v)], (u, v) Dg 。 复合函数有如下求偏导数的法则。
定理 12.2.1（链式规则） 设 g 在 (u0 , v0 ) Dg 点可导，即 x x(u,v) ， y y(u, v) 在 (u0 , v0 ) 点 可 偏 导 。 记 x0 x(u0 , v0 ), y0 (u0 , v0 ) ， 如 果 f 在 (x0 , y0 ) 点可微，那么
并且有 lim x2 y 2 0 。于是当 u 趋于 0 时， u 0
(x, y)
x 2 y 2
u
(x, y)
x
2
y
2
u
u u u
也趋于 0，所以
z u
(u0 ,v0 )
lim
u0
f
(x(u0
u,v0 ), y(u0
u,v0 )) u
f
(x(u0 ,v0 ), y(u0 ,v0 ))
z u
(u0 ,
v0 )
z x
(x0 ,
y0
)
x u
(u0 ,
v0
)
z y
( x0 ,
y0 )
y u
(u0 ,
v0
)
；
z v
(u0 ,
v0
)
z x
(x0 ,
y0
)
x v
(u0
,
v0
)
z y
( x0 ,
y0
)
y v
(u0 , v0 )
。
证 只证明第一式。由于 f 在 (x0 , y0 ) 点可微，因此
d z ( f g)(x) d x f ( y)g(x) d x f ( y)(g(x) d x) f ( y) d y 。 这说明一阶全微分的形式不变性是普遍成立的。
要注意的是，全微分的形式不变性在高阶微分时是不成立的。例
如函数 z f (x, y) ，当 x, y 为自变量时，
d2 z 2 z dx2 2 2 z dxdy 2 z dy2 ，
z d x z d y 。
x y
这说明了无论 x, y 是自变量，还是中间变量，一阶微分具有相同 的形式，这就是一阶全微分的形式不变性。
对于多元函数 z f ( y) ，其中 y ( y1, y2, , ym )T 。当 y 为自变量时， 一阶全微分形式为
d z f ( y) d y 。 而当 y 为中间变量 y g(x)（ x (x1, x2, , xn )T ）时，d y g(x) d x 。由定 理 12.2.2，
由链式规则，
u 2x, v yz 。
x
x
w w u w v 2x w yz w 。
x u x v x u v
注意到 w 和 w 仍是复合函数，于是由
u v
u 2z, v xy ，
z
z
再运用链式规则就得到
2w zx
z
w x
z
2x
w u
yz
w v
2x
z
w u
y
w v
yz
。
例 12.2.4 设 z (2x y) x2y ，计算 z , z 。
x y
解 设 u 2x y, v x 2y ，则 z uv 。于是
z z u z v vuv1 2 uv ln u 1 x u x v x
2(x 2 y)(2x y)x2 y1 (2x y)x2 y ln(2x y)
1 r2
u
2
。
设
f : Df →R2,
(u,v) (x(u,v), y(u,v)),
是区域 Df R2 上的二元二维向量值函数。又设 g : Dg → R2 ,
(s,t) (u(s,t), v(s,t))
是区域 Dg R2 上的二元二维向量值函数。如果 g 的值域 g(Dg ) Df ， 则可以构造复合向量值函数 f g 。具体写出来就是
x y
而当 x, y 为中间变量时，如
x x(u, v), y y(u, v),
这时 d x xu d u xv d v, d y yu d u yv d v ，
那么由链式规则得
d z z d u z d v u v
( f x xu f y yu ) d u ( f x xv f y yv ) d v f x (xu d u xv d v) f y ( yu d u yv d v)
f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
f x
(x0
,
y0
)x
f y
(x0
,
y0
)y
(x,
y)
x 2 y 2 ,
其 中 (x, y) 满 足 lim (x, y) 0 。 定 义 (0,0) 0 ， 那 么 上 式 当 ( x ,y )0
(x, y) (0,0) 时也成立。
t
u
t
v t
y (s,t) y (u, v) u (s,t) y (u, v) v (s,t),
s
u s
v s
y (s,t) y (u, v) u (s,t) y (u, v) v (s,t)。
t
u
t
v t
写成矩阵形式就是
x (s,t)
s
y s
(s,
t
)
x (s,t) x (u, v)
2 ln(2 x
y)
。
例 12.2.5 设 w f (x2 y 2 z 2 , xyz) ， f 具有二阶连续偏导数，计
算 w , 2w 。
x zx
解 将 w f (x2 y 2 z 2 , xyz) 看成复合函数
显然
w f (u, v),
u x2 y 2 z 2 , v xyz.
将 x, y 看成中间变量，就得到
u u x u y u cos u sin.
r x r y r x
y
u u x u y r sin u r cos u .
x y
x
y
将第一式乘 r 后的平方加上第二式的平方，再乘以1/ r 2 ，即得到
u x
2
u y
2
u r
2
设 x x(u0 u, v0 ) x(u0 , v0 ) ， y y(u0 u, v0 ) y(u0 , v0 ) ，
由于 x x(u, v) ， y y(u,v) 在 (u0 , v0 ) 点可偏导，所以成立
x x
lim
u0
u
u (u0 , v0 ),
lim
u0
y u
y u
(u0 , v0 ) ，
f212fu(uv,v)，
如此等等，则上面的结果可表示为
w x2xf1yzf2
z2wx4xzf112y(x2z2)f12xy2zf22yf2。
例 12.2.6
已知
u
u(x,
y)
为可微函数，试求
u x
2
u y
2
在极坐标
下的表达式。
解 直角坐标与极坐标有如下关系：
x r cos , y r sin ，
lim f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 )
u0
u
f lium0 x
(x0 ,
y0
)
x u
f y
(x0 ,
y0 )
y
u
lim
u 0
(x, y) x 2 u
y 2
f x
(x0 ,
y0)Leabharlann x u(u0 ,v0
)
f y
(x0 ,
y0
)
y u
(u0 ,
v0
)
。
定理 12.2.2（链式规则） 设 g 在 x0 Dg 点可导，即 y1, y2 ,, ym 在 x0 点可偏导，且 f 在 y0 g(x0 ) 点可微，则