紧扣“等可能”，突破几何概型教学的难点
前一阵在《中学数学教学参考》上看到这样一个例子：
1．等腰RtΔABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率
2．等腰RtΔABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率
前者的概率是，后者的概率是
这两个看上去很相近的问题，答案为什么会不同呢？这个问题引起学生的很多的困惑．其实，要解决它，还得回到几何概型的定义．
几何概型的定义是：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域Ω内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域D中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这样的方法处理随机试验，称为几何概型．
从几何概型的定义我们可以看出：解决几何概型问题的基本步骤是：（1）找出等可能基本事件；（2）对应几何图形（所有等可能基本事件所在的区域Ω和随机事件中等可能基本事件所在的区域A）；（3）由区域确定测度．
第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段AB上随机取一点，这一点落在这个线段上是等可能的．
第二个事件所对应的等可能基本事件应该是在直角区域内任取一条射线，显然若射线等可能出现在直角区域内，则点M就不可能等可能出现在线段AB上．
如何确定等可能基本事件？
抓住“任意”、“随机”等词，确定等可能的基本事件空间．
贝特朗悖论：
几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识．然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：
在一个圆内随机地画一条弦，它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少？
从不同方面考虑，可得不同结果：
（1）由于对称性，可预先指定弦的方向．作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长．所有交点是等可能的,则所求概率为
1/2 ．
（2）由于对称性，可预先固定弦的一端．仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求．所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 ．
（3）弦被其中点位置唯一确定．只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求．中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4．
这导致同一事件有不同概率，因此为悖论．
得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布．这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．
三个结果都正确！——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因．
这一悖论揭示了几何概率在19世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性，也反映出古典概率有着相当的局限．这也推动了20世纪概率论公理化工作的早日到来．
关于这个悖论有很多种讨论，在此不一一赘述．老师们只需明白的是确定“等可能基本事件”的重要性，在解决几何概型问题时，必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判断好基本事件的等可能性．
如何对应几何图形？
有的问题，几何特征较为明显，能迅速找到相应的几何图形，计算其测度．但有的问题中，找到相应的几何图形较为困难．如：
例．一家快递公司的投递员承诺在上午9：00—10：00之间将一份文件送到某单位．
（Ⅰ）如果这家单位的接收人员在上午9：45离开单位，写出他在离开单位前能拿到文件的概率；
（Ⅱ）如果这家单位的接收人员将在上午9：30—11：00之间离开单位，那么他在离开单位前能拿到文件的概率是多少？
解：（Ⅰ）所求事件的概率为．
（Ⅱ）设为投递员到达该单位的时间，为接受人员离开单位的时间．可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为
，
这是一个长方形区域，面积为．
设事件表示“接受人员在离开单位之前能拿到文件”，则事件所构成的区域为
，
面积为．
这是一个几何概型，所以．
即接受人员在离开单位之前能拿到文件的概率为.。