第三章
控制系统的运动分析
1
本章主要内容
1. 对自动控制系统的基本要求 2. 几种典型输入信号及响应之间的关系 3. 控制系统的暂态响应特性 4. 控制系统的稳定性 5. 控制系统的稳态误差
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3.1 对自动控制系统的基本要求
?稳定性
re
u
y
控制器
对象
受扰后能恢复平衡，
跟踪输入信号时不
检测
振荡或发散
4种典型响应之间的关系
R(s) ?
Y(s) ?
?? ( t )
1
Y1( s )
?
r(t)
?
? ?
1(
t
?t
)
? ?
1
t2
?2
1 s
Y2( s )
1 s? 2
Y3( s )
1 s3
Y4( s )
1
1
1
? Y 2(s) ? s Y 1 ( s ), Y 3(s) ? s Y 2 ( s ), Y 4(s) ? s Y 3 ( s );
0
0
响应曲线的特性
优化需要较多的数学 分析和计算，而基于 响应曲线特性的非优 化问题则更为直观。
re
u
y
控制器
对象
检测
反馈控制系统
本章讨论非优化的暂态和稳态指标。
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单位阶跃响应1——单纯惯性型
y(t)
1
0.9 y( ? )
误差带Δ=5%
1.05 y( ? )
ess
0.95 y( ? )
0.1 y( ? )
典型初始条件 ：零状态，即 在t=0 时 系统的输 入及输出以及各阶导数均为零。即在外作用施 加之前系统是静止的。
典型响应 ：系统在零初始状态下，在典型输入 信号作用下的响应。如：单位脉冲响应、单位 阶跃响应、单位斜坡响应、单位抛物线响应。
r(t)
y(t)
系统
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r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
? ?
0
,
t ?0 t ?0
A
0
t
A 为常数
A=1 时 ? 单位阶跃信号，常表示为
r(t) = 1( t )
一般情况下可表示为 r(t) = A×1( t )
对应的拉氏变换为
R(t) = A / s
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② 斜坡（速度）信号
r(t)
r( t ) ? At ? 1( t )
R(s) = A / s2
A=1 时 ? 单位斜坡信号
0
tr ts
ess:稳态误差 t r : 上升时间 ts:调节时间
t
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单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
超调量
1
y( ? )
0
tr
tp
ess:稳态误差 t r : 上升时间 t p : 峰值时间
ts:调节时间
1.05 y( ? )
ess
0.95 y( ? )
超调量 :
σp(%) ?
反馈控制系统
?稳态响应性能
可概括为
跟踪精度高或稳态误差小
稳（稳定、平稳）、
?动态（暂态）响应性能 快、准。
（跟踪、抗扰）响应的快速性、平稳性好
3
典型跟踪响应：
期望值
y
time 4
典型抗扰响应：
期望值
加扰动
y time
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3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系
① 阶跃信号
r(t)
r(t)
?
? A,
或 Y1(s) ? sY 2 ( s ), Y 2(s) ? sY 3 ( s ), Y 3(s) ? sY 4 ( s )
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阶跃响应 ? 脉冲响应的积分
即 斜坡响应 ? 阶跃响应的积分
抛物线响应 ? 斜坡响应的积分
脉冲响应=阶跃响应的微分 或 阶跃响应=斜坡响应的微分
斜坡响应=抛物线响应的微分
注：最常用的是单位阶跃响应
r(t)
y(t)
系统
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3.3 控制系统的暂态响应特性
? 单位阶跃响应与性能指标 ? 一阶系统的暂态响应特性 ? 二阶规范型系统的暂态响应特性 ? 零点对二阶系统暂态响应的影响 ? 高阶系统的暂态响应
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3.3.1 单位阶跃响应与性能指标
性能指标：优化类， 非优化类
? ? 如 ? e2 ( t )dt , t1 u 2 ( t )dt
?? , t ? 0
r(
t
)
?
? ?
0
,
t?0
,
R(s) = A
?
?r( t )dt ? A
??
矩形 脉冲
t
A=1时 ? 单位脉冲函数，记作 δ(t)
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⑤ 正弦信号
r( t
)
?
? A sin( ?
??0, t ?
t 0
?
?
),
t? 0
A为振幅，ω 为角频率，φ为初始相角。
R( s ) ?
s sin ? ? ? s2 ? ?
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（2）一阶系统的单位脉冲响应
y( t ) ?
d（单位阶跃响应）?
1
t ?
e T,
t?0
dt
T
变化趋势与阶跃响应一致
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（3）一阶系统的单位斜坡响应
? y( t ) ? t (阶跃响应)dt 0 t ? ? (?t ?? ?T) ? T?e??T 稳态分量 暂态分量
出现稳态误差 (ess=T) 变化趋势同样与阶跃响应一致
0
t
③ 抛物线（加速度）信号 r(t)
r(t) ? 1 At 2 ? 1(t) 2
R(s) = A / s3
0
t
A=1 时 ? 单位抛物线信号
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r(t)
④ 脉冲信号
A
?A /?, 0? t ? ? r( t ) ? ??0 , t ? 0 或 t ? ?
?
0?
令ε→0 ，即得脉冲信号的数学表达式为
cos?
2
? ?0 ?
? R( s ) ? s2 ? ? 2
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4 种典型输入信号之间的关系
微 对抛物线信号微分 = 斜坡信号
分 关
对斜坡信号微分 = 阶跃信号
系 对阶跃信号微分 = 脉冲信号
积 对脉冲信号积分 = 阶跃信号
分 关
对阶跃信号积分 = 斜坡信号
系 对斜坡信号积分 = 抛物线信号
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典型初始条件与典型响应
t ?
y(t) ? 1 ? e T , t ? 0
T<0时， y(t)？
稳态分量9 0.1
暂态性能指标： ts= 3T （Δ=5% ）, tr=2.2T, σ p= 0
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离 ↑）? 快速性↑
y(t p ) ?
y(?
) ? 100%
y(? )
t
ts
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3.3.2 一阶系统的暂态响应特性
数学模型为
T
dy( t ) ?
y( t ) ?
Kr( t )
dt
r(t)
y(t)
系统
Y(s) ?
K
? G( s )
R( s ) Ts ? 1
以下设 K=1 ，T>0
T<0时G的极点位置？
R(s)
Y(s)
G(s)
S平面 j?
P=-1/T 0 ?
T>0 时G 的极点分布
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一阶系统的典型响应
（1）单位阶跃响应
1 R( s ) ?
s
r(t) 系统 y(t) R(s) G(s) Y(s)
Y ( s ) ? G( s )?R( s ) ? 1 ?1 ? 1 ? T Ts ? 1 s s Ts ? 1
对上式进行拉氏反变换 得