最短路径问题——将军饮马问题及延伸
湖南省永州市双牌县茶林学校
熊东旭
最短路径问题
教学内容解析：
本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。
本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。
教学目标设置：
1、能利用轴对称解决最短路径问题。
2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。
3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
教学重点难点：
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。
学情分析：
1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。
此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。
2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。
”以及“垂线段最短”。
以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。
教学条件分析:
在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。
教具准备：直尺、ppt
教学过程：
环节教师活动学生活动设计意图
一
复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如
何用学过的数学知识解释这个
问题？
2.这样的问题，我们称为“最
短路径”问题。
1、两点之间，线段最短。
2、两边之和大于第三边。
从学生已经学
过的知识入
手，为进一步
丰富、完善知
识结构做铺
垫。
二探究新知1.探究一：
【故事引入】：唐朝诗人李颀在
《古从军行》中写道：“白日登
山望峰火，黄昏饮马傍交河．”
诗中就隐含着一个有趣的数学
问题，古时候有位将军，每天
从军营回家，都要经过一条笔
直的小河。
而将军的马每天要
到河边喝水，那么问题来了，
问题：怎样走才能使总路程最
短呢？
认真读题，仔细思考。
将实际问题中的“地点”
“河”抽象为数学中的
“点”“线”，把实际问题
抽象线段和最小问题。
从异侧问题入
手，由简到难，
逐步深入。
二探究新知2.探究二：
【变换情境】：后来将军把家搬
到了河的对面，若还是要带马
先到河边喝水，然后再回家，
应该怎样走，才能使总路程最
短呢？
（1）【转化】：你能将实际问题
抽象为数学问题吗？
（2）【展示】：
让学生猜想，并画出图形。
巡视发现学生不同的作法（尽
可能多），分别展示各小组的作
法。
给予学生一定的提示。
（3）【度量】：如何才能判断哪
种猜想是正确的呢？（测量一
下）在几何画板中分别度量出
【回答】：学生思考并回
答，如何将实际问题转化
为数学问题。
已知：直线L和同侧两点
A、B
求作：直线L上一点C，
使C满足AC+BC的值最
小。
【学生展示】：
作法1：
作法2：：
作法3：
【学生反思】：第1种作
法是利用“垂线段最短”，
得到AC最短，利用“两
学生主动探
索，充分发挥
学生的主动
性。
展示多种方
法，产生思维
冲突，引发学
生进一步探究
的学习欲望。
老师动手操作，验证结论的正确性。
（1）学生自主证明，教师纠错。
（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。
（3）共同完成证明过程。
三发散思维除了作点B关于直线l的对称
点以外，还有没有别的作法？
还可以作点A关于直线l
的对称点。
发散思维，培
养学生一题多
解的能力。
四
得出结论【问题】：我们是如何解决将军
饮马问题的？
先将实际问题转化为数
学问题。
然后作其中一个
点关于直线l的对称点，
连接对称点和另一点与
直线的交点就是满足最
短距离的点的位置。
让学生反思刚
才的探究过
程。
培养数学
思维，和及时
总结所学的知
识的好习惯。
五变式巩固【问题】：如图，已知：P、Q
是△ABC的边AB、 AC上的点，
你能在BC上确定一点R，使△
PQR的周长最短吗？
在具体问题中
实践已有模
型，固化已有
模型。
为进一
步丰富、完善
知识结构做铺
垫。
六拓展提升【问题】：如图,一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A问：这位将军怎样走路程最短？
【问题】：如图，A为马厩，B 为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
七巩固练习1.
2.【题目】：如图，已知： MON
内两点A、B.
求作：点C和点D,使得点
C在OM上，点D在ON上，且
AC+CD+BD+AB最短。
3.【题目】：如图，如图，OMCN
是矩形的台球桌面，有黑、
白两球分别位于B、A两点
的位置上，试问怎样撞击白
球，使白球A依次碰撞球台
边OM、ON后，反弹击中黑
球？
C
N
M
O
B
A
习题难度，由
易到难，逐步
深入。
让学生
进一步巩固解
决最短路径问
题的基本策略
和基本方法。
八课堂1.【问题】：本节课研究问题的
基本过程是什么？
当我们遇到一个实际问
题，首先，我们要将实际问题
变成一个数学问题（群答），也
就是抽象成一个数学模型，这
我们要先将实际问题变
成一个数学问题，然后观
察实验，提出猜想，之后
通过证明，验证猜想，从
培养学生总结
在课题学习的
基本思路。
小结样可以帮助我们进行实验观
察，进而运用合情推理得到一
个猜想，然后我们可以通过严
谨的逻辑证明，验证猜想，从
而得出结论，最后再将结论运
用到实际问题里。
2.【问题】：今天我们学习了最
短路径的相关问题，我们应该
怎么样找到它们的最短路径
呢？
先确定对称轴，找出定点
的对称点。
然后连接对称点与
另一点确定所求位置点（连接
各对称点确定所求位置点）。
而得出结论，最后再将结
论运用到实际问题里。
如何求解
九
课后拓展【问题】：在矩形ABCD中，在
边和对角线AD、BD上有两个动
点M、N,当M、N运动到何处时，
BM+MN最短？
根据解题方法
进行深度拓展
（难度大）。