2021年中考数学模拟试题解析版一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）﹣的相反数是（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．2．（2分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．故选：A．3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．（2分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（）A．7.68×109B．7.68×108C．0.768×109D．0.768×1010【解答】解：7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108．故选：B．5．（2分）下列计算正确的是（）A．2a2﹣a2＝1B．（ab）2＝ab2C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a6【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；B、（ab）2＝a2b2，故B错误；C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；D、（a2）3＝a6，故D正确．故选：D．6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：读书时间（小时）7891011学生人数610987则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）A．9，8B．9，9C．9.5，9D．9.5，8【解答】解：由表格可得，该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，故选：A．7．（2分）平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（）A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2）B．P（2，﹣3）Q（3，2）C．P（2，3），Q（﹣4，）D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）【解答】解：A、∵（﹣2）×（﹣3）≠3×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；B、∵2×（﹣3）≠3×2，故点P，Q不在同一反比例函数图象上；C、∵2×3＝（﹣4）×（），故点P，Q在同一反比例函数图象上；D、∵（﹣2）×3≠（﹣3）×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；故选：C．8．（2分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1＝2S2【解答】解：∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，∴AA′∥BC′，∵点P是直线AA′上任意一点，∴△ABC，△PB′C′的高相等，∴S1＝S2，故选：C．9．（2分）无理数2﹣3在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【解答】解：∵2＝，∴6＜＜7，∴无理数2﹣3在3和4之间．故选：B．10．（2分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝m，则图中阴影部分的面积是（）A．m2B．m2C．（）m2D．（）m2【解答】解：∵正六边形的边长为m，∴⊙O的半径为m，∴⊙O的面积为π×m2＝πm2，∵空白正六边形为六个边长为m的正三角形，∴每个三角形面积为×m×m×sin60°＝m2，∴正六边形面积为m2，∴阴影面积为（πm2﹣m2）×＝（﹣）m2，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．12．（3分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是15．【解答】解：5÷﹣5＝15．∴白色棋子有15个；故答案为：15．13．（3分）若分式方程有增根，则实数a的值是4或8．【解答】解：∵+＝，∴+＝，当x2﹣2x≠0时，原式化为3x﹣a+x＝2x﹣4，∴2x＝a﹣4，∵分式方程有增根，∴x＝0或x＝2，当x＝0时，a＝4；当x＝2时，a＝8．故答案是4或8．14．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．【解答】解：连接AB，∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos∠AOB＝cos45°＝．故答案为：．15．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，则这两年的年利润平均增长率为30%．【解答】解：这两年的年利润平均增长率为x，根据题意可列出方程为：300（1+x）2＝507，解得：x1＝﹣2.3（不合题意舍去），x2＝0.3＝30%，故答案为：30%．16．（3分）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为．【解答】解：如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG＝AB，由翻折变换的性质得GF⊥AE，∵∠AFG+∠DAE＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFG＝∠AED，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∴HG＝AD，在△ADE和△GHF中，，∴△ADE≌△GHF（AAS），∴GF＝AE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CD＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝＝2，∴GF的长为2．故答案为：2．三、解答题（17题6分，18题、19题各8分，共22分）17．（6分）计算：2﹣1+3tan60°﹣+（2019﹣π）0【解答】解：2﹣1+3tan60°﹣+（2019﹣π）0＝+3﹣2+1＝3﹣18．（8分）如图．在平行四边形ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝5，EM＝3，求AN的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝3，在Rt△AFN中，AN＝．19．（8分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）求共抽取了多少名学生的征文；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%＝50（名）．（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3＝15（名），条形统计图如图所示：（3）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为20÷50＝40%，∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%×360°＝144°；（4）该校九年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%＝360名．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）某学校在‘小小数学家’的课堂练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国数学大赛，请用列表法或画树状图法，求恰好同时选中甲、丁两位同学的概率．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、丁两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中甲、丁两位同学的概率为＝．21．（8分）小颖准备用21元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.5元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几支笔？【解答】解：设她还可以买x支笔，根据题意，得3x+2.5×2≤21，解得x≤，答：她还可能买1支、2支、3支、4支、或5支笔．五、（本题10分）22．（10分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD 于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．【解答】解：（1）∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，∴AC平分∠DAO；（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°，∵∠E＝30°，∴∠OCE＝45°；②作OG⊥CE于点G，则CG＝FG＝OG，∵OC＝2，∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2，∴FG＝2，在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝2，∴．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（1，）B（4，）的直线l分别与x 轴、y轴交于点C，D．（1）求直线l的函数表达式．（2）P为x轴上一点，若△PCD为等腰三角形直接写出点P的坐标．（3）将线段AB绕B点旋转90°，直接写出点A对应的点A的坐标．【解答】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（4，）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+8．（2）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，∴点D的坐标为（0，8）；当y＝0时，﹣x+8＝0，解得：x＝6，∴点C的坐标为（6，0），∴CD＝10．分三种情况考虑（如图1所示）：①当DC＝DP时，OC＝OP1，∴点P1的坐标为（﹣6，0）；②当CD＝CP时，CP＝10，∴点P2的坐标为（﹣4，0），点P3的坐标为（16，0）；③当PC＝PD时，设OP4＝m，∴（6+m）2＝82+m2，解得：m＝，∴点P4的坐标为（﹣，0）．综上所述：点P的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）．（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，如图2所示．∵点B（4，），点D（0，8），∴BD＝＝．∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，∴△DOC∽△DBE，∴＝，即＝，∴DE＝，∴点E的坐标为（0，﹣）．利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式为y＝x﹣．设点A′的坐标为（n，n﹣）．∵A′B＝AB，∴（4﹣n）2+[﹣（n﹣）]2＝（4﹣1）2+（﹣）2，即n2﹣8n＝0，解得：n1＝0，n2＝8，∴点A′的坐标为（0，﹣）或（8，）．七、（本题12分）24．（12分）如图在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，M为AC的中点．D 是射线CB上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接MN．（1）如图1，∠BCE＝90°，NM与AC的位置关系是MN⊥AC；（2）如图2，判断（1）中NM与AC的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当CD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【解答】解：（1）如图1中，连接AN，CN．∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，∵DN＝EN，∴CN＝DE，同法AN＝DE，∴NA＝NC，∵AM＝MC，∴NM⊥AC，故答案为90°，MN⊥AC．（2）如图2中，结论不变．理由：连接AN，CN．∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，∴∠DCE＝90°，∵DN＝EN，∴CN＝DE，同法AN＝DE，∴NA＝NC，∵AM＝MC，∴NM⊥AC．（3）如图3中，由（1）可知∠ECB＝90°，∴CE⊥BC，∴当ME⊥EC时，ME的值最小，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，∴BC＝4，∵AM＝MC＝，在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，∴EC＝EM＝1，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝EC＝1，∴CD＝4﹣1＝3．∴当CD＝3时，EM的值最小，最小值为1．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；（3）求线段PE的最大值；（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），则3＝a×1×（﹣3），∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，如图1，设P（t，﹣t2+2t+3），则AF∥PE，设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∴E（t，﹣t+3），F（﹣1，4），∴AF＝4，PE＝﹣t2+3t，∵AF∥PE，∴△AFD∽△PED，∴，∵AD＝2PD，∴，解得，t＝1或2，∴P（1，4）或P（2，3）；（3）∵PE的解析式为：PE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜3），∴当t＝时，PE的值最大为；（4）①当F点在PE的左边时，过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，由（3）知，当PE取最大值时，P（，），PE＝，E（，），∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴BE＝EM＝，∠PEM＝45°，∴PM＝EM＝，∵AC＝，∴OH＝CH＝，OG＝，∴HG＝，∠OHG＝2∠ACO，∵∠EFP＝2∠ACO，∴∠EFP＝∠OHG，∵∠OGH＝∠PMF，∴△OGH∽△PMF，∴，即，∴MF＝，∴BF＝BE+EM+MF＝，∴FQ＝BQ＝BF＝，∴OQ＝，∴F（﹣，），②当F点在PE的右边时，此时的F点恰好与（﹣，）关于PM对称，易求此时F （，）．故F的坐标为（﹣，）或（，）．。