求数列通项公式的 常用方法
数列通项公式的求法
观察法 公式法 (利用前n项和) 累加法 累积法
构造法（等差、等比数列）
1.观察法
• 例1：根据数列的前4项，99，999，9999，…
• （2）
an 10 n 1
11 , 2 4 , 3 9 , 416 ,
5.构造法
当给出递推关系求 an 时，主要掌握通过引进辅助数列能
转化成等差或等比数列的形式。 (an1 pan q)
例5.已知数列 {an}的递推关系为 an1 2an 1
，且 a1 1 求通项公式 an 。
an 2n 1
练习5．设数列{an}满足a1 2,
an1
• （3） 2 5 10 17
1, 2 , 1 , 2 ,
• （4）
325
1 , 2 , 3 , 4 , 2 34 5
an

n
n2 ;
n2 1
an

2; n 1
an

(1) n1

n n 1
2.公式法
• 例2：已知下列两数列{an}的前n项和 Sn的公式，求 an 的通项
公式。
an an1 4 (n 1)
2
an

a1 4[1 2 3 (n 1)] 2(n 1)
∴ an 2n2 4n 3
数列通项公式的求法
观察法 公式法 累加法 累积法
利用前n项和 构造法（等差、等比数列）
an

Sn n 1 Sn Sn1 n 2
求解
练习2：设数列an 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系 3tSn (2t 3)Sn1 3t(t 0, n 2,3,4,)
求 数列 an 的通项公式
3.累加法 • 例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此
令bn an1 an 则数列{bn}是以4为公差的等差数列
∴bn b1 (n 1)d b1 a2 a1 2
∴bn an1 an 4n 2 两边分别相加得：
∴a2 a1 4 1 2
a4 a3 4 3 2
a3 …a…2 4 2 2
• （1） Sn n3 n 1 （2）sn n2 1
主要是公式an


s1 sn

sn1
(n 1)的运用 (n 2)
1,
n 1
(1)an 3n2 3n 2, n 2
0 (2)an 2n 1
(n 1) (n 2)
公式法:若已知数列的前项和 Sn与 an的关系，求数列{an} 的通项也可用公式
an

1 n
累积法 :一般地，对于型如 an1 f (n) an 类的通项公式， 只要 f (1) f (2) f (n)的值可以求得时 ，则宜采用此方法求解。
练4、已知数列 {an} 中，a1 2 ，an1 3n an ，
求通项公式 an 。
n ( n 1)
an 2 3 2
数列的一个通项。
an n2 5 (n N )
累加法:一般地，对于型如 f (1) f (2) f (n) 类的通项公式， 只要能进行求和，则宜采用此方法求解。
练习3. 已知数列：a1 1, an1 an 2n求通项公式
an 2n 1
4. 累积法
• 例4：在数列｛an｝中，a1=1, (n+1)·an1 =n·an， an 求 的表达式。

an an
3
(n

N ),
求an .
2
an

2 3n1
. 1
例 6: 已 知 数 列 {an} 的 递 推 关 系
为 an2 2an1 an 4，且 a1 1，a2 3 ，
求通项公式 an 。
解：∵ an2 2an1 an 4
∴ (an2 an1) (an1 an ) 4