mg
α
R o v0 =0
T
mg − T = ma
TR = Jα
h
a = αR 而且 1 J = MR2 2
mg →a = 1 m+ M 2
重物作匀加速直线运动， 重物作匀加速直线运动，定滑轮作匀加速定轴转动
mg a= M m+ 2
a mg α= = M R m+ R 2
h ω = 2αθ , θ = R
2
转动惯量J 转动惯量
∑ (r F
i i
i ,t
) + ∑ (ri ∑ f ij ,t ) = (∑ ∆mi ri )α
2 i j i
合外力矩M 合外力矩
内力矩和为0 内力矩和为
J = ∑ ∆mi ri
2
M = Jα
关于同一个轴
i
—— 刚体定轴转动定律
转动定律：合外力矩=转动惯量与角加速度的积 转动定律：合外力矩=
与牛顿第二定律比较： 与牛顿第二定律比较：
M = Jα
F = ma
因此，与惯性质量对应，转动惯量反映刚体转动的惯性。 因此，与惯性质量对应，转动惯量反映刚体转动的惯性。 转动惯量的大小由质量对轴的分布决定 由定轴转动定律可推导动能定理： 由定轴转动定律可推导动能定理：
ω2 dω 1 1 2 A = ∫ Jαdθ = ∫ J dθ = ∫ Jωdω = Jω2 − Jω12 dt 2 2 θ1 ω1 θ
O
1 l 2
l 1 2 mg cosθ = ml α → α = 3 g cos θ 2 3 2l
d ω 3 g cos θ = dt 2l
θ
d ω dθ 3 g cos θ → = dθ dt 2l
ω θ
α
mg
3 g cos θ 3 g cos θ dθ dθ → ∫ ω d ω = ∫ → ω dω = 2l 2l 0 0 3 g sin θ 2 →ω = l
d 3 4 2 3 ω ( t+ t − t )=a+ b − c = a b c 3t 4t d t
角加速度是角速度对 的导数 的导数， 角加速度是角速度对t的导数，因此得
d ω d 2 3 2 a= = ( + b − c )= b − 2 t a 3t 4t 6t 1c d d t t
由此可见飞轮作的是变加速转动。 由此可见飞轮作的是变加速转动。
§5.3 转动惯量的计算 5.3
质点系对轴的转动惯量
z
J = J z = ∑ ∆mi ri 2
质量连续分布刚体对轴的转动惯量
ri
mi
J = ∫ r 2 dm
形状、大小相同，质量越大， 越大； 形状、大小相同，质量越大，J越大； 质量相同，分布离轴越远， 越大； 质量相同，分布离轴越远，J越大； 转轴不同， 不同。 转轴不同，J不同。 量纲： 量纲：ML2 单位：千克平方米， 单位：千克平方米， kg ⋅ m 2
0 π 2) 5 8 rd ω=ω + t =(5 π− × 5 =2 π=7 .5a /s 0 α
ω的方向与ω0相同 ；
（2）t =25s 时飞轮的角速度为 ）
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度 和加速度。 和加速度。
ω0
v= r=7 . m s ω 85 /
2 3
a =a =− .1 m s2 r 34 / t a =ωr=61 × 0 m s .61 / n
Fi , t ( a i , t ) Fi
ri w
f ji
∆mi
f ij
rj
∆m j
Fi ,t + ∑ f ij ,t
j
dvi dw = ∆mi ai ,t = ∆mi = ∆mi ri dt dt
以∆mi到轴的垂直距离ri 乘上式 ri Fi ,t + ri ∑ f ij ,t
j
dw 2 = ∆mi ri = ∆mi ri α dt
一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机， 例1、一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r，如果升降机从 匀加速上升， 静止开始以加速度a匀加速上升，求开始上升后滑轮的角加速度β，任意 和滑轮转过的角度， t 时刻的角速度ω和滑轮转过的角度，以及滑轮边缘上一点的加速度 a′ 假设绳索与滑轮之间不打滑）。 （假设绳索与滑轮之间不打滑）。 解：滑轮边缘上一点的 切向加速度
2 2 a= a + n a t
2
O a
an
v r at
61 × 0 2 31 2 / 2 = ( . 6 1 3) + . 4 m s 61 × 0 / 2 ≈ . 6 1 3m s
a的方向几乎和 a 相同。 n 相同。
一飞轮在时间t 式中a、 、 例 一飞轮在时间t内转过角度θ＝at+bt3-ct4 ,式中 、b、c 都是 常量。求它的角加速度。 常量。求它的角加速度。 将此式对t求 解：飞轮上某点角位置可用θ表示为 θ ＝at+bt3-ct4将此式对 求 飞轮上某点角位置可用θ 导数， 导数，即得飞轮角速度的表达式为
mx 'C
⇒J=
∑
i
∆mi ri2 =
∑
i
∆mi ri'2 + (
∑
i
∆mi )d 2 − 2d
∑
i
' ∆mi x i
= J C + md 2
例
右图所示刚体对经过棒端且与
1 2 1 2 x=x +v t + a θ= 0 + 0t + α t θ ω t 0 0 2 2
v= 0 + t v a
v =v + a x−x ) 2( t 0
2 2 0
ω= 0 + t ω α
ω = + αθ− 0) ω 2( θ
2 2 0
刚体获得角加速度的原因？
4、解决刚体动力学问题的一般方法 、 原则:质点系的三个定理 原则 质点系的三个定理 利用刚体的特征化简到方便形式( 好记) 利用刚体的特征化简到方便形式 简便 好记 （1）刚体的平动 ） 质点模型 运用质心运动定理 （2）刚体的定轴转动 ） 利用刚体的模型(无形变 利用刚体的模型 无形变) 无形变 化简角动量定理 功能原理 ⇒ 方便的形式
r
a′
at an r
at = a = αr
a →α = r
滑轮的角加速度
a
a
任意 t 时刻的角速度 ω = α t 转过的角度 θ =
1 2 αt 2
2
滑轮边缘上一点的 法向加速度 a n = ω r 加速度
a′ =
an + at
2
2
an 与切向夹角 β = arctan at
§5.2 转动定律 5.2
r
dm
一、常用转动惯量 质元： 质元：dm =
ρ dl
均匀圆环： 均匀圆环：半径R、质量m
质元对轴的转动惯量： 质元对轴的转动惯量：dJ = R 2 dm
2 转动惯量： 转动惯量：J = ∫ dJ = ∫ R ρdl m 2πR
R
= R 2 ρ 2π R = mR 2
质元： 质元：dm = σ 2π rdr 质元对轴的转动惯量： 质元对轴的转动惯量：dJ = r 2 dm
2
dm = ρ dx
dJ = x dm
2
l
转动惯量： 转动惯量：
J C = ∫ dJ = ∫ x 2 ρdx
m −l 2
l 2
J A = ∫ dJ = ∫ x 2 ρdx
m 0
1 ml 2 = = 12 12
ρl 3
1 2 = ml = 3 3
ρl 3
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
二、转动惯量遵循的规律
o′ ω
v
θ
线速度
ω
α
r
v = ωr
P
线加速度
a t = rα
an = ω r
2
o 定轴
3、匀变速转动的公式 在质点作匀加速直线运动 常数，有以下相 时，a =常数，有以下相 应的公式: 应的公式: 在刚体作匀角加速转动时， 在刚体作匀角加速转动时， 常数，有以下相应的公 α=常数，有以下相应的公 式:
dθ 角速度： 角速度： = ω dt
dω d 2θ 角加速度： 角加速度： = α = 2 dt dt
线速度： 线速度： v = rω 加速度： 加速度：
at = rα
an = rω 2
Hale Waihona Puke 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50 s后 例 一飞轮转速 ，受到制动后均匀地减速， 后 静止。 静止。 求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； （1）求角加速度 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数 ； 求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度ω ； （2）求制动开始后 设飞轮的半径r=1m，求在 （3）设飞轮的半径 ， ω0 t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。 时边缘上一点的速度和加速度。 方向如图所示， 解 （1）设初角度为ω0方向如图所示， O a an v r at
回顾
力矩 改变物体的转动状态 物体获得角加速度
质点的角动量定理
M r× = F
L=r×p=r× v m
d L M r× = = F d t
处理转动的所 有公式都是从 这个公式导出
刚体运动遵从的力学规律
力 学（Mechanics）
第5章 刚体的定轴 章 转动
(Fixed-spindle Rotation of Rigid Body)
θ2
θ2
1
刚体定轴转动定律的应用
已知：定滑轮（可视为均匀圆盘） 已知：定滑轮（可视为均匀圆盘）质量M、半径R ；重物质 忽略轴处摩擦及绳的质量。 量m，忽略轴处摩擦及绳的质量。 高度时滑轮和重物的加速度和速度 速度。 求：重物由静止下落h 高度时滑轮和重物的加速度和速度。 解： 对重物