第三章直线与方程3、1、1直线得倾斜角与斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线得倾斜角与斜率得概念.(2)理解直线得倾斜角得唯一性、(3)理解直线得斜率得存在性、过程与方法斜率公式得推导过程,掌握过两点得直线得斜率公式.情感态度与价值观(1) 通过直线得倾斜角概念得引入学习与直线倾斜角与斜率关系得揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过斜率概念得建立与斜率公式得推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一得观点,培养学生形成严谨得科学态度与求简得数学精神.重点与难点:直线得倾斜角、斜率得概念与公式、教学用具:计算机教学方法:启发、引导、讨论、教学过程:（一）直线得倾斜角得概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线、那么, 经过一点P得直线l得位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案就是否定得、这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P、(2)它们得‘倾斜程度’不同、怎样描述这种‘倾斜程度’得不同?引入直线得倾斜角得概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成得角α叫做直线l得倾斜角．．．、特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°、问: 倾斜角α得取值范围就是什么? 0°≤α＜180°、当直线l与x轴垂直时, α= 90°、因为平面直角坐标系内得每一条直线都有确定得倾斜程度, 引入直线得倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内得每一条直线得倾斜程度、如图, 直线a∥b∥c, 那么它们得倾斜角α相等吗? 答案就是肯定得、所以一个倾斜角α不能确定一条直线、确定平面直角坐标系内得一条直线位置得几何要素: 一个点．．．．．．α．、．．．P．与一个倾斜角(二)直线得斜率:一条直线得倾斜角α(α≠90°)得正切值叫做这条直线得斜率,斜率常用小写字母k表示,也就就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在、由此可知, 一条直线l得倾斜角α一定存在,但就是斜率k不一定存在、例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1、学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线得倾斜程度、(三) 直线得斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点得坐标来表示直线P1P2得斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2得四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式得推导、(略)斜率公式:对于上面得斜率公式要注意下面四点:(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线得斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直;(2)k与P1、P2得顺序无关, 即y1,y2与x1,x2在公式中得前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点得坐标求得;(4) 当y1=y2时, 斜率k = 0, 直线得倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合、(5)求直线得倾斜角可以由直线上两点得坐标先求斜率而得到.(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA得斜率, 并判断它们得倾斜角就是钝角还就是锐角、(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k得值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α就是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α就是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α就是0°、略解: 直线AB得斜率k1=1/7>0, 所以它得倾斜角α就是锐角;直线BC得斜率k2=-0、5<0, 所以它得倾斜角α就是钝角;直线CA得斜率k3=1>0, 所以它得倾斜角α就是锐角、例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3得直线a, b, c, l、分析:要画出经过原点得直线a, 只要再找出a上得另外一点M、而M得坐标可以根据直线a得斜率确定; 或者k=tanα=1就是特殊值,所以也可以以原点为角得顶点,x 轴得正半轴为角得一边, 在x 轴得上方作45°得角, 再把所作得这一边反向延长成直线即可、略解: 设直线a上得另外一点M得坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以x = y可令x = 1, 则y = 1, 于就是点M得坐标为(1,1)、此时过原点与点M(1,1), 可作直线a。
同理, 可作直线b, c, l、(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P86 1、2、3、4、(六)小结:(1)直线得倾斜角与斜率得概念. (2) 直线得斜率公式、(七)课后作业: P89 习题3、1 1、3、(八)板书设计:(((三)情感态度与价值观通过对两直线平行与垂直得位置关系得研究,培养学生得成功意识,合作交流得学习方式,激发学生得学习兴趣.重点:两条直线平行与垂直得条件就是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用.难点:启发学生, 把研究两条直线得平行或垂直问题, 转化为研究两条直线得斜率得关系问题.注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在得情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.教学过程(一)先研究特殊情况下得两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线得倾斜角与斜率得概念, 而且知道,可以用倾斜角与斜率来表示直线相对于x轴得倾斜程度, 并推导出了斜率得坐标计算公式、现在, 我们来研究能否通过两条直线得斜率来判断两条直线得平行或垂直.讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线得斜率也不存在时,两直线得倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线得斜率为0时,一条直线得倾斜角为90°,另一条直线得倾斜角为0°,两直线互相垂直.(二)两条直线得斜率都存在时, 两直线得平行与垂直设直线L1与L2得斜率分别为k1与k2、我们知道, 两条直线得平行或垂直就是由两条直线得方向决定得, 而两条直线得方向又就是由直线得倾斜角或斜率决定得、所以我们下面要研究得问题就是: 两条互相平行或垂直得直线, 它们得斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)得情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们得倾斜角相等:α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2得关系)∴tanα1=tanα2.即k1=k2.反过来,如果两条直线得斜率相等: 即k1=k2,那么tgα1=tgα2.由于0°≤α1＜180°,0°≤α2＜180°,∴α1=α2.又∵两条直线不重合,∴L1∥L2.结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们得斜率相等;反之,如果它们得斜率相等,那么它们平行,即注意: 上面得等价就是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．得前提下才成立得,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定、下面我们研究两条直线垂直得情形.如果L1⊥L2,这时α1≠α2,否则两直线平行.设α2＜α1(图1-30),甲图得特征就是L1与L2得交点在x轴上方;乙图得特征就是L1与L2得交点在x轴下方;丙图得特征就是L1与L2得交点在x轴上,无论哪种情况下都有α1=90°+α2. 因为L1、L2得斜率分别就是k1、k2,即α1≠90°,所以α2≠0°.,可以推出: α1=90°+α2. L1⊥L2.结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．,如果它们互相垂直,那么它们得斜率互为负倒数;反之,如果它们得斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即注意: 结论成立得条件、即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定、(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2得关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2得关系, 得到猜想, 再加以验证、转动时, 可使α1为锐角,钝角等)、例题例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ得位置关系, 并证明您得结论、分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证、(图略)解: 直线BA得斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0、5, 直线PQ得斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0、5, 因为k1=k2=0、5, 所以直线BA∥PQ、例2 已知四边形ABCD得四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD得形状,并给出证明、(借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD就是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上、例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ得位置关系、解: 直线AB得斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ得斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ、例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC得形状、分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC就是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证、(图略)课堂练习P89 练习1、2、课后小结(1)两条直线平行或垂直得真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直、(3) 应用直线平行得条件, 判定三点共线、布置作业P89 习题3、1 5、8、板书设计3、2、1 直线得点斜式方程一、教学目标1、知识与技能(1)理解直线方程得点斜式、斜截式得形式特点与适用范围;(2)能正确利用直线得点斜式、斜截式公式求直线方程。
(3)体会直线得斜截式方程与一次函数得关系、2、过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线得几何要素——直线上得一点与直线得倾斜角得基础上,通过师生探讨,得出直线得点斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”得区别。
3、情感情态与价值观通过让学生体会直线得斜截式方程与一次函数得关系,进一步培养学生数形结合得思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系得观点瞧问题。