带入本征关系式即有谐振波长的一般表 示式：
( ) ( ) ( ) ( ) λ0 =
1
=
+ 2
1
λc
p2 2l
1
2
2
+ 1
1
λc
λg
7.1− 20
其中λc为波导的截止波长，为波导λc波长。
微波谐振器的基本参数 2——品质因数
定义：
Q0
= 2π W
WT
=
ω0
W Pl
其中W代表微波谐振器的储能，WT代表
始拉！
=
ω0
Wm
+ Pl
We
= ω0
2Wm Pl
= ω0L
R
=
1
ω0RC
在谐振频率附近： ω = ω0 + Δω
Zin
=
R+
jω
L
⎜⎝⎛1
−
ω
1 2 LC
⎞ ⎟⎠
=
R+
jω
L
⎛ ⎜ ⎝
ω
2 −ω ω2
2 0
⎞ ⎟ ⎠
ω2
−
ω
2 0
=
(ω
−ω0 )(ω
+ ω0 )
≈
2ω0Δω
Zin

R
+
j2LΔω

R+
第七章 微波谐振器
主要内容
• 微波谐振器概述 • 微波谐振器的基本特性与参数 • 集总串联/并联RLC谐振电路的基本特性 • 传输线谐振器、金属波导谐振腔、介质
ห้องสมุดไป่ตู้谐振器的特性与设计方法 • Fabry—Perot开式谐振器 • 论微波谐振器的激励与谐振腔的微扰
微波谐振器概述
【定义】广义而言，凡能够限定电磁能量 在一定体积内振荡的结构均可构成电磁 谐振器。
高Q，则要提高V/S）
微波谐振器的基本参数 ——品质因数 continue 3
一般而言，谐振器的线性尺寸与波长 成正比，于是：
V ∝ λ3,
从而：
Q0
∝
λ δ
S ∝ λ2
7.1− 25
例如：在常用的厘米波段，趋肤深度一 般为微米量级，于是器件的Q值大约在 104～105量级。（实际有载Q会变小）
微波谐振器的基本参数 3——损耗电导
另一个不确定因素是等效电压：谐振器内部无
论那个方向均不稳定，其数值与所选的积分路
径有关。—— G0为多值——Æ通常选内表面
固定点在固定时刻积分计算：
b
∫ Vm = − a Em ⋅ dl
∫v∫ 于是：
G0 = Rs ⎛⎜⎜⎝
|
s
H tan
|2
ds
b a
Em
⋅
dl
⎞⎠⎟⎟2
7.1− 28
显见，G0是多值不定的。——与Q的本质差别
电场储能：We
=
1 4
| VC
|2
C
=
1 4
|
I
|2
1
ωC
总功率： Pin = Pl + 2 jω (Wm − We )
谐振频率： ω0 =
1 平均 LC 电场储能＝磁场储能
输入阻抗： Zin
=
2Pin | I |2
=
Pl
+ 2 jω (Wm − We )
| I |2 / 2
品质因素：
Q 微扰法开
微波谐振器概述（continue4）
• 对于金属波导谐振腔可用驻波法求场的 解答；（波节反射面Æ驻波Æ谐振）
• 对于TEM传输线谐振器可用传输线理论来 分析；（开路/短路Æ驻波Æ谐振）
• 对于一些非传输线型谐振器，可用准静 态方法求解；(麦克斯韦方程求解法)
• 对于单模工作的谐振器，可用等效电路 方法分析；（6章等效网络法）
∫ Wm
=
1 2
ε
Ai 2 ki
V
ki2
|
K E
K (r )
|2
dv
∫ = 1
2
K
ε | E |2
V
dv
= We
结论
• 微波谐振器可以支持无穷多种不同的自 由振荡模式，分别具有不同的振荡频率 （多谐性）
• 微波谐振器中的单模电磁场均为标准正 弦波，时间上有900的相位差，电场最 大时磁场为零，反之也是如此。
—麦克斯韦方程分离变量法
再利用基本麦克斯韦 方程可得到：
KK Ei (r ) KK Hi (r )
= =
1
ki 1
ki
K ∇× Hi
K ∇ × Ei
K (r K (r
) )
对于谐振器的自 由振荡模式，能 量总是在电与磁 之间转换，且保 持平衡（相等）
∫ We = ∫ Wm =
1
ε
|
K E
|2
dv
V
2 1
K Ei∗
(rK
)
×∇×
⋅∇×∇ KK Ei (r )
×
K Ei
(rK
)
微波谐振器的基本特性与参量 continue 8 任意形状谐振器推导
∫ ∫∫∫v ∫∫ ∫ ===可V |解∇VVs E∇EK×K得ii∗⋅(E({KrK：rKEiK)()×ir∗K⋅(∇)[rK∇|2×)××d∇v[E∇K×i (×ErKKiE)K(]irK⋅(d)rKds)v]+}=dv—V+VE麦Kki∗i克(2VrK|E)K斯EK⋅i∗i∇((韦rrKK×))方⋅|∇2∇程d××v分E∇Ki (离×rK)E变Kdiv(量rK)法dv
【微波谐振器】—— 一般是由任意形状 的电壁或磁壁所限定的体积，其内产生 微波电磁振荡。(储能和选频)
【性能】类似于电路理论中的集总元件谐 振器。
【应用】滤波器、振荡器、频率计、调谐 放大器等。
【设计要点】
微波谐振器概述（continue 1）
f<300MHz 谐振器是用集总电容器和电感 器做成
f>300MHz 时回路的欧姆损耗、介质损 耗、辐射损耗都增大，致使回路的Q值 大大降低；而回路的电感量L和电容量C 则要求很小，难以实现。（分布参数影 响大）可采用传输线技术用一段纵向两端封闭的传输线
微波谐振器(microwave resonators)本质是广义 的谐振体：如图任意形状的微波谐振器，
其体积为V，表面积为S。表面为电壁(理想导 体壁)/磁壁(开路壁)，也可以是部分电壁/部分 磁壁。
分析理想导体壁为例：
微波谐振器的基本特性与参量 continue 1
任意形状谐振器推导
—麦克斯韦方程分离变量法
μ
|
K H
|2
dv
V2
微波谐振器的基本特性与参量 continue 7 任意形状谐振器推导 —麦克斯韦方程分离变量法
∫ ( ) 将腔体的场解带入可得：
Wm =
μ 1
V2
Ai
η
2
|
KK Hi (r )
|2
dv
利用：
∫ = 1 ε 2
Ai 2 ki
V
|
∇
×
K Ei
K (r )
|2
dv
∇==|∇⋅∇{E××Ki∗EEK(Kir∗Ki (()rrKK×))[⋅|2∇∇−××EKEEKi∗Ki(i(r(KrKrK)))⋅]∇−}
j2RQ
Δω ω
0
可用来分析分布元件的等效电路。
可以将有耗谐振器当成具有复谐振频率的器 件，令：R=0即可得到无耗等效串连谐振器
的输入阻抗： Zin = j2L(ω − ω0 )
由此可得 Z 有耗谐振腔：
in
=
j
2L
⎛ ⎜
ω
−
ω
0
(1
−
⎝
j
1 2Q
)
⎞ ⎟ ⎠
设微波谐振器体积内填充
理想的均匀介质，其电磁
场∇满× H足K 麦= ε克∂斯EK韦方程：
∇
×
K E
=
−
∂t K
μ ∂H
K
∂t
∇ ⋅ EK = 0
∇⋅H =0
微波谐振器的基本特性与参量 continue 2
任意形状谐振器推导
K—麦克斯韦方程分离变量法
S表面边界条件： E × nˆ = 0
K
由此可解出腔内 的电磁波满足的 波动方程：
=
0
E(r )
T (t)
T '' (t) + ωi2T (t) = 0
∇2
K E
(rK
)
+
ki2
K E
(
rK
)
=
0
波数为(正实数)：
ki = ωi με
微波谐振器的基本特性与参量 continue 4
任意形状谐振器推导
—麦克斯韦方程分离变量法
显然： 对E有：
TK(t) E=
=K Ei
AKie (r )
• 对于谐振腔的微小变形，则可用微扰方 法分析。（针对以上各种结果的修正）
微波谐振器概述（continue 5）
• 【微扰法】假设一个接近的近似解模型，再 在尺寸上加上修正项（扰动——一般为高阶 无穷小量）来逼近精确解。可加多次（多 阶）
微波谐振器的基本特性与参量
• 本质与RLC相同，但
1。基别任本。意参形量状有微大波的谐区 振器自由振荡的基本特性
微波谐振器概述（continue 3）
• 【非传输线型】非传输线型谐振器或称复杂形状
谐振器不是由简单的传输线或波导段构成的，而是 一些形状特殊的谐振器。这种谐振器通常在坐标的 一个或两个方向上存在不均匀性，如环形谐振器、 混合同轴线型谐振器等。