Ai
1 2
1 2
A
' i
R
1 3
(3-14) (3-15)
3 2
9 '2 16 E R
pi
'
2 3
a 已知 R
2
a
3 3Pi R 4 E'
pi
4 3
E R
1 2

(3-13)
二、理想粗糙表面的接触计算
研究粗糙表面时，n 个微凸体按某些特定规律处理
4E 3
3 2
n
R
Ar
3 2
(3-15)
上述结果表明在弹性变形情况下接触面积与载荷成正比
2、完全塑性接触
假设载荷使微凸体在一恒定流动压力 p下发生塑性变形，材料作垂直 向下的位移而不作水平扩展。此时应力达到屈服应力 s y ' 已知微凸体接触面积等于2π Rδ ，若单个微凸体接触面积 A ' ，作用载荷 p i
当两圆柱体均为钢时
E1 = E 2 = E
1 = 2 =0.3

m ax
0 .4 1 8
qE R
(3-11)
三、球面与平面的接触（HZ）
令接触两球中的一球半径R2趋于无穷大设圆球面积为R0
P

max
0 . 388 3
pE R0
2
弹性压入面积
2
2a
压缩应力
四、圆球面与凹球面的接触(HZ)
表面１

1
h

2
表面２ 若两个表面的粗糙度均方根值分别为Rq1（ 1）、 Rq2（ 2 ） ，且参考中线之间 距离为 h 。他们的接触可转化为一个光滑刚性平面和另一个具有均方根值为：
Rq R q1 R q 2
2 2
的粗糙当量表面相接触。
设 f ( z ) 为当量表面上微凸体高度概率分布函数，当光滑表面与当量表面参考中线
f (z) e

z

则： m n e

h

Ar n R e
2

h

p n E R
1/ 2

5/2

1/ 2
e
h /
整理得：
p c1 A r
或
p c2m
c1 , c 2
与摩擦表面性质有关参数
２、塑性接触 在塑性接触状态时，其接触面积是弹性接触面积的2倍。即： A i 2 A i 由：
B D B
C
A
机械相互作用
发生变形和位移以适应相对运动 较硬的材料的微凸体会嵌入较软材料的表面中， 较软材料的表面微凸体被压扁和改变形状。 A 运动方向
B
微凸体互嵌——微凸体不发生变形就不能产生运动
2、赫兹接触
定义:所谓赫兹接触就是指圆弧形物体的接触（赫兹1896年关于表面接触应力 应变的研究）
sy
（5）结论：球面或圆柱对平面，或曲面对曲面施加载荷时，若平均接触应力未达到 三倍屈服应力之前，表面不会发生明显的永久性压痕； 判椐： 材料硬度与压缩屈服极限有关 3 s y 不发生永久性塑性变形

Hm
２、平均接触应力：
4
1 3

Hm

p Ar
ER
2

2
1

3
R
2 E 3 R 4
引入
R
E'
a
(3-4)
一般作用在接触面中心的最大接触应力是平均应力的1.5倍
1、
m ax
3P 2 a
2
(3-5)
代入
a
3 3P R 4 E'
2、
m ax
3 2
3
P
=

4 E 3 R
'

2
0 .5 8 3 P
E R
'2 2
(3-6)
当两个球均为钢球时
E1 = E 2 = E
假设:（1）材料为完全弹性；（2）表面是光滑的；（3）接触物体没有相对滚 动；（4）接触物体不传递切向力； 一、两球体接触 半径 a 可由赫兹公式 式中：
a
3 3p 4
1 2 1 E1
1 2 2 E2
1 1 R1 R 2
(3-3)
p
R1
R2
E1
E2
1、 2
3 3P R 4 E'
1 = 2 =0.3
m ax
0 .3 8 9
3
PE R
2
2
(3-7)
二、两圆柱体接触
由赫兹公式
如圆柱 长度为L
b
4P R l E'
(3-8)
接触面上最大应力是平均应力的4/ 倍
即：
m ax

2P bL
(3-9)
代入b式
得：

m ax

P E L R
'
(3-10)
在接触两球中，令凹球半径为-R2。可看作球面与凹球面的接触。
1 R


1 R1

1 R2

m ax
0 . 388 3
pE R
2
2
五、结论与讨论 （1）在弹性变形状态下，最大接触应力与载荷成非线形 （2）球与平面接触最大剪应力在表层下0.5 a 处，且 4 5 m ax 0 .3 1 H m ax （3）圆柱与平面接触时在表层下0.786 b 处 ，且 4 5 m ax 0 .3 0 .3 3 H （4）当法向载荷与切向力同时作用， 最大剪应力位置向表面移动 （5）由于表面粗糙度的影响，每个微凸体进入接触时出现微观赫兹应力分布 （6）大多数粗糙表面接触，表面接触具有弹塑性特点 （7）表面接触的形式取决于接触条件
第四节
接触变形的判据
1、在表面上形成永久性塑性变形
（1）在曲面接触中，最大剪应力在表层下，故塑性变形发生在表层下；
（2）当载荷增大，塑性变形扩展，在表层出现明显特征，即永久压痕； （3）此时，平均接触应力最大值 H m 6 k ； （4）通常用 (
Hm
) 定义材料的硬度值H，即； H 6 k 3

1、完全弹性接触 由前式知： Ai R h d 由前知单个微凸体载荷： 总载荷： P n p i
4 3
实际接触面积
pi
4 3
A r n Ai n R h d

E R
'
1 2

3 2
(3-14)
' 1 2
nE R
'
1 2
h d
3 2
P
1
1

2

3 R
2

Hm
4 E
当

Hm

1 3
H
时由弹性变形进入塑性变形。
Ｈ－材料布氏硬度
３、 塑性变形的条件：
1 1

2

HR
4E
2
0 . 78
H E
1
R
2
1
过渡点：
由完全弹性到完全塑性

2

H E
1
R
2
同除Rq
1/2 得：
Rq
1/ 2
H R E Rq
n
Ar


i 1
Ari (3-2)
三、微凸体模型和接触模型 1、微凸体模型 1）球形模型
2）柱形模型
3）锥形模型 2、接触模型 1）球面与球面接触 2）球面与平面接触 3）棒与棒接触
有关接触表面的特点：
（1）固体间接触不连续性，即接触的离散性 （2）固体间接触面积的三种类型：名义接触、轮廓接触、实际接触 （3）固体间接触具有分子和力学双重性 （4）摩擦过程中，微凸体的接触部位上的闪温比基体平均温度高的多
m ax
第三节 粗糙表面的接触
一、单个球体与刚性平面的接触计算 研究单个弹性球体与刚性平面的接触情况
a1
R
2
pi
R

2

' i
2 R
2
2

2 R
(3-12) (3-13)
理论接触面积：
A
a1 2 R
a
a1

A ' i 实际是球体塑性变形时的接触圆面积
实际加载时弹性体侧向变形受到限制，实际面积比理论面积小 实际面积 法向变形量 故：法向载荷
1
E Rq 2 H R
Ψ <0.6 Ψ >10
0.6Biblioteka ψ５、依据ψ 判断表面接触状态
表面粗糙度Rq增加时，ψ也增大，表示微凸体接 触部分容易过渡到塑性变形。 ψ<0.6―――完全弹性接触 ψ>10―――完全塑性接触 0.6≤ψ≤10―――弹性和塑性变形同时存在 大多数都属第三种
A
r
mA
i
nR
h

( z h ) f ( z ) dz

1/ 2 3/2 4 p m pi m E R ( z h ) 由前知： 3
代入
m n
f ( z )d z
h
得：
1/ 2 p 4 n E R 3

h
(z h)
3/2
f ( z )d z
一般情况，在Z值较大部分的微凸体高度分布接近指数分布，故令：
第二节