Ａ∩(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∩Ｃ；
4. 恒等律:Ａ∪Φ=Ａ； Ａ∩Ｕ=Ａ； 5. 零 律:Ａ∪Ｕ=Ｕ； Ａ∩Φ=Φ； 6. 分配律:Ａ∩(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
7. 吸收律:A∩(A∪B)=A; A∪(A∩B)=A； 8. 否定律:
AA
9. DeMorgan律： A B A B
又再∵计|算A||=A4,|,||BB||=和5，|A∪B|， 然∴后|代A|入＋公|B|式－(|2A.4∩.1B)|两=4端＋，5－验2=证7=等|式A∪B|
即定理即2可.4.。1成立；
(2)略。
三个集合的情形
• 定理2.4.3 设A，B和C是任意三个有限集合， 有
A∪B∪C =( A + B + C )-( A∩B + A∩C + B∩C )+ A∩B∩C
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... E+ ２ ４ ６ ８ 10 ... 2(n+1) ... 所以，E+也是可数集合。
3）
在P与N之间建立1-1对应的关系 f：N→P如下： N ０ １ ２ ３ ４ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... P ２ ３ ５ ７ 11 ... 所以，P也是可数集合。
4）
• 推论2.4.4 设U为全集， A，B和C是任意有 限集合，则
A∩B∩C = U -( A + B + C ) +( A∩B + A∩C + B∩C )- A∩B∩C
容斥原理的推广
• 定理2.4.5 设A1, A2, …, An是任意n个有限集合， 则
n
A1∪A2 ∪ ∪An = Ai - Ai∩Aj + Ai∩Aj∩Ak
第1
集合的概念 集合的表示方法 特殊集合 集合的运算 无限集
例
1) 所有的实数 （R） 2) 所有的复数 （C） 3) 所有的偶数 （E） 4) 所有的奇数 （O） 5) 所有的素数 （P） 6) 自然数的全体 （N） 7) 所有的有理数 （Q） 8) 所有的整数 （Z）
二、集合的记法
解：1）
在O+与N之间建立1-1对应的关系 f： N→O+ 如下：
N ０ １ ２ ３ ４ ... ｎ ...
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ... O+ １ ３ ５ ７ ９ ... 2n+1 ... 所以，O+也是可数集合。
2）
在E+与N之间建立1-1对应的关系 f：N→E+ 如下： N ０ １ ２ ３ ４ ... ｎ ...
需先计算A∪B和A∩B， 再计算|A|,|B|和|A∪B|， 然后代入公式(2.4.1)两端，验证等式
即可。
例2.4.1
• 对所给的集合验证定理2.4.1。 • （1）A = {1,2,3,4}，B = {2,3,5,6,8}； • （2）A = {1,2,3,4}，B = {5,6,7,8}。 •分解析 根(1据)∵定A理∪2B.=4{.11,，2,3,4,5,6,8}，A∩B={2,3} 需∴先计算|AA∪∪B|B和A∩= B， 7,|A∩B|=2 。
鸽巢数。
例2.4.4
• 抽屉里有3双手套，问从中至少取多 少只，才能保证配成一双？
• 答：4只。
• 任意367个人中，至少有2个人生日相同
– 哪个是鸽子哪个是鸽笼
• 任意选6人，必有三人互相认识或互相不认识
• 把5个点放到边长为2的正方形中，其中至少有
两个点的距离少于等于 2
第1章 集合论
• 集合论是现代数学的基础,是不可缺少的数学 工具和表达语言。
• 集合不仅可以表示数、而且还可以象数一样进行 运算，更可以用于非数值信息的表示和处理，如 数据的增加、删除、排序以及数据间关系的描述； 有些很难用传统的数值计算来处理，但可以用集 合运算来处理。
• 集合论在程序语言、数据结构、编译原理、数据 库与知识库、形式语言和人工智能等领域都得到 了广泛的应用，并且还得到了发展。
i=1
i≠j
i≠j≠k
• 推论2.4.6 设U为全+集+，(-A11)n,+1AA21,∩…A,2 ∩AnL是∩任An 。意n个有 限集合，则
A1∩A2 ∩
m
∩An = S - Ai + Ai∩Aj -
Ai∩Aj ∩A k
i=1
i≠j
i≠j≠k
+ +(-1)n A1∩A2 ∩ ∩An 。
2.4.2 鸽笼原理
2.4.1 容斥原理
• 定义2.4.1 所谓容斥，是指我们计算某类物
体的数目时，要排斥那些不应包含在这个计 数中的数目，但同时要包容那些被错误地排 斥了的数目，以此补偿。这种原理称为容斥 原理(The Principle of Inclusion-exclusion)，又 称为包含排斥原理。
定理2.4.1
1.2 无限集
有限集
无限集
量变
•质变
无限集合无法用确切的个数来描述，因此，无 限集合有许多有限集合所没有的一些特征，而有限 集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去， 即使有的能推广，也要做某些意义上的修改。
二、等势的概念
定义 A，B是两个集合，若在A，B之 间存一一对应的关系，则称集合A与B是 对等的或等势的，记为：
|A| = |A-B|+|A∩B| |B| = |A∩B|+|B-A|
推论2.4.2 设U为全集，A和B是任意有限集合，则
A B U (A B) A B
例2.4.1
• 对所给的集合验证定理2.4.1。 • （1）A = {1,2,3,4}，B = {2,3,5,6,8}； • （2）A = {1,2,3,4}，B = {5,6,7,8}。 •分析 根据定理2.4.1，
•
2.4.2 鸽笼原理
• 鸽笼原理（Pigeonhole Principle）又称为抽
屉原理、鸽舍原理，是指如下定理。
• 定理2.4.7(鸽笼原理) 若有n+1只鸽子住进n个 鸽笼，则有一个鸽笼至少住进2只鸽子。
•注证子意明，： 则(反n证个法鸽)笼假至设多每住个进鸽n只笼鸽至子多，住这进与1只有鸽 （n1+）1鸽只笼鸽原子理矛仅盾提。供故了存存在在性一证个明鸽；笼至少住进2 （只2）鸽使子用。鸽笼原理，必须能够正确识别鸽子(对象) 和•鸽巢(某类要求的特征)，并且能够计算出鸽子数和
AB AB
10.矛盾律： A∩ A＝Φ
11.排中律： A∪ A＝U
以上定理的证明思路：
欲证P Q，即证对任意 x ，x P x Q。
例
• 证明：设A，B是任意集合，求证：
1 A B P A PB 2P A PB A B 3 P A PB A B
伽利略问题
正整数集合{1,2,3,…}与正整数平方集 合{12,22,32,…}哪一个元素更多？
定理： 1)空集是一切集合的子集; 2)空集是绝对唯一的。
例：指出下列结论中那些是错误的。
1）ΦΦ 2）ΦΦ 3）Φ{Φ} 4）Φ{Φ}
例、简要说明： 与的区别，
举出它们的元素和子集。
解： 是无任何元素的集合， 子集有 ，
是以集合为元素的集合， 元素为 ，子集有 ,。
5、子集总数
一般来说，对于n元集A，它的m(0mn)
• 鸽笼原理（Pigeonhole Principle）又称为抽
屉原理、鸽舍原理，是指如下定理。
• 定理2.4.7(鸽笼原理) 若有n+1只鸽子住进n个 鸽笼，则有一个鸽笼至少住进2只鸽子。
• 证明(反证法) 假设每个鸽笼至多住进1只鸽 子，则n个鸽笼至多住进n只鸽子，这与有 n+1只鸽子矛盾。故存在一个鸽笼至少住进2 只鸽子。
解：设C＝{x|x是不给自己刮脸的人} b是这位理发师 如 bC，则 bC； 如 bC，则 bC。
七、特殊集合
1、空集
定义 不含任何元素的集合称为空集,用 表示。空集可表示为：Φ={x|xx}
例 S＝{x|x是正整数并且x2＝3} S＝ A={x|（xR）且（x2+1=0）}
由于该方程没有关系 f：N→Z如下： N ０ １ ２ ３ ４ ... 2n-1 2n ... ｆ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ... ↓ ↓ ... Z ０ １ -1 ２ -2 ... n -n ... 所以，Z也是可数集合。
定理
1) 两个有限集合等势当且仅当它 们有相同的元素个数；
2) 有限集合不和其任何真子集等 势；
AB
注意：若A＝B，则 AB。 （∨） 若AB， 则 A＝B （×）
三、可数集合(可列集）
定义 凡是与自然数集合等势的集合，统
称为可数集合或可列集合。记为：‫א‬0
例下列集合都是可数集合： 1)O+＝{x|xN，x是正奇数}; 2)E+＝{x|xN，x是正偶数}; 3)P＝{x|xN，x是素数}; 4)整数集合Z.
元子集有C个nm ，所以不同的子集总数有：
Cn0 Cn1 ... Cnn 2n
6、幂集
定义
A的所有子集组成的集合称
为A的幂集，记为P(A)或2A。
数学语言描述：
P(A) {x | x A}
显然，若集合Ａ有ｎ个元素，则集合Ａ共有2|A|个子 集，即：
|P(A)|＝ 2|A|。
定理
1. 等幂律:Ａ∪Ａ=Ａ；Ａ∩Ａ=Ａ； 2. 交换律:Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ;Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ 3. 结合律:Ａ∪(Ｂ∪Ｃ)=(Ａ∪Ｂ)∪Ｃ；
四、 集合与元素的关系
属于关系是集合论中最重要的关系。而元 素,集合等概念又是集合论中最重要的概念
•对某个集合Ａ和元素ａ来说，ａ或者属
于集合Ａ，或者不属于集合Ａ，两者必 居其一，且仅居其一。