(9-２)
５.φ满足拉普拉斯方程：
2
x2
2
y2
2
z2
0
（9-３）
若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉
斯方程可以解出φ。
3
求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于
固体的力和力矩。
求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍
一个简单的方法： “迭加法”
迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调
M y 2 x2 y2
令ψ＝C即得流线族：
M
2
y x2 y2
c
或
y x 2 y 2 c1
即
x2 y2 y 0
c1
配方后得: x2 (y 1 )2 1
2c1
4c12
（9－14）
19
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，
等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
这些圆与ψ＝const正交
量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一
个有限数值，即：
Ｑδx→Ｍ
（δx→０） (9-9)
图9－8(a)
这一流动的极限状态称为偶极，Ｍ为偶极矩。
用迭加法求φ和ψ
15
122Q (lnr1lnr2)
场点Ａ离源和汇的距离
r１≈r2＋δx cosθ１
Q ln r1 Q ln r2 xcos1
2 r2 2
r2
Q ln(1xcos1 )
注意：
偶极子的轴线和方向
轴线：源和汇所在的直线
方向：由汇指向源的方向
图6-8（b）
偶极子的方向
为ｘ轴负向
20
四、点涡（环流）
点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，
方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点 诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小
与半径成反比：
vs 2r
vr 0
（６－15）
涡索旋涡强 度的两倍
Vｘ＝Vo， Vy＝０ 现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：
d xd x yd yV xd xV yd yV 0d x
积分得势函数： V0 x
积分常数不起作用，可省去。
（9-4）
9
流函数的全微分：d xdx ydy V ydxV xdyV ody
积分得流函数：ψ＝Voｙ
（9-5）
第九章 势流理论
课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？
势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。 像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行
研究可获得满意结果。
求解势流问题的思路如下： １.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的
力和力矩； ２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即
须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t） 1
2
r2
是个小量，利用泰劳展开得: Q xcos1
2 r2
当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r 16
利用泰劳展开: ln(1z)zz2 z3
23
令 z x cos1
r2 展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：
Q xcos1 2 r2
极坐标下：
M cos 2 r
（9-１0）
直角坐标下：
M
2
x x2 y2
（9-11）
17
对于流函数：
1 22 Q (1 2)2 Q ()
这里：r2＝ x Sinθ1
所以
x sin 1
r2
代入上式得: Q xsin1
2 r2
当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ18
流函数为： M sin 2 r
（9-12）
直角坐标系下：
和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始
条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数
就是所需要的解。
4
本章主要研究内容：
1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流（几个调和函数） 3.绕园柱体的无环流流动 4.绕园柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量 6.作用于流体上的力和力矩
由（9-4） 和（9-5）有：
ｙ=const，流函数等值 线（流线）
ｘ＝const，等势线
两组等值线相互正交
图9－3
10
例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流 动或薄平板的均匀纵向绕流。
图9－4
二、源或汇
流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，
11
设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ
Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程：
所求速度的点到 点涡的距离
采用极坐标来求φ和ψ
图 9-9
21
dvrdrvsrd2 d
积分得速度势函数:
2
（9－16）
流函数 dvsdrvrrd2rdr
积分得流函数： ln r
5
本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对 简单问题的求解。
明确两点重要结论：
１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻 力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。
２）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作 用，即著名的麦格鲁斯效应。
6
§9-1 几种简单的平面势流 平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所
在平面，无垂直于该平面的分量；
• 与该平面相平行的所有其 它平面上的流动情 况完
全相同。
图 9－1 7
船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比 宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓 慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平 面内流动。
图 9－2
8
一、均匀流
设所有流体质点均具有与 ｘ轴平行的均匀速度Vo，
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总体概述
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2
３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，
要求出ｐ，必须先求出速度V
４. 对于势流，存在速度φ，满足：
vx x , vy y , vz z
（9-１）
V vx2 vy2 vz2
2Q lnr 2Q （9-8）
流线为θ＝const，为原点
引出的 一组射线
等势线为ｒ＝const，流
线为同心圆,相互正交。
图9－6
13
当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，
可以用源（汇）的速度势来描述。
图9-7
14
三、偶极子
无界流场中等流量的源和汇
无限靠近，当间距δx→０时，流
2πrVr ＝Ｑ
∴ Vr＝Ｑ/2πr （9-6） 在直角坐标系下：
图9－5
V x x y
V y y x
在极坐标下：
V r r s 1 r V s s 1 r r（91－2 7）
采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：
d( rdr d)VrdrrVsd2Q rdr d( rdr d)VsdrrVrd2Q d