a3 L3 T 3 M 3 3
a4 L4 T 4 M 4 4
相似性原理 和量纲分析
满足a1，a2 ，a3，a4，量纲独立的条件是量纲式中指数行列 式不等于零，即
1 1 1 1 2 2 2 2 0 3 3 3 3 4 4 4 4
在流体力学中，m常取3，且取特征长度L代替a1，速度v代
FI l 2v 2 Fp pl 2 pl 2
ⅠlⅠ2 ⅠlⅠ2vⅠ2
Ⅱ lⅡ2 Ⅱ lⅡ2 vⅡ2
pⅠ
ⅠvⅠ2
pⅡ
Ⅱ vⅡ2
p
v 2
Eu
p
v 2
p
v
2
EuⅠ EuⅡ
p 1
p
2 v
欧拉准数、欧拉准则和 两流动压力相似指标式
4、马赫（柯西）准数
FIⅠ FIⅡ FEⅠ FEⅡ
相似性原理 和量纲分析
量纲方程式：N L M T
3、导出量和导出量纲
导出量：非独立的，由基本量导出的量 导出量纲：导出量所具有的量纲
相似性原理 和量纲分析
速度 v
v dl dt
v LT 1
力F
F ma m d 2l dt 2
F MLT 2
压强 p
p dF dA
p ML1T 2
密度
dm
dV
t t t t 1I
2I
3I
4I
tI
tI
t t t t 1Ⅱ
2Ⅱ 3Ⅱ 4Ⅱ
tⅡ
tⅡ
tⅠ tⅡ
t1Ⅰ t1Ⅱ
t 2Ⅰ t 2Ⅱ
t 3Ⅰ t 3Ⅱ
t 4Ⅰ t 4Ⅱ
t
三 、 运动相似
相似性原理 和量纲分析
定义：两个系统中对应点，在对应时刻，速度（加速度）互成
一定的比例，方向相同
θI u1I
u2 I
F1
132V
动力黏度比尺：
I II
I I II II
v
1V
功率比尺：N
NI N II
132v t
123v
§5.3 量纲分析和相似准则推导方法
相似性原理 和量纲分析
相似原理和量纲分析是各学科各领域进行科学实验的理论 基础，因为在这种理论指导下，对于所建立的描述物理现象 的微分方程组是否容易求解，对于那些十分复杂的无法建立 微分方程式的物理现象，都能确定这些物理现象所包含的那 些相似准则，规划指导进行模型实验，并将其实验结果推广 到与之相似的实物(原型)中去。
2、推论 凡属同类物理现象，均能用无量纲方程表示
检验物理方程正确的依据
§5.2 相似概念及基本内容
一、几何相似
相似性原理 和量纲分析
定义： 模型流动与实物流动具有相似的边界形状，一切对 应线形尺寸成一定的比例，夹角相等
l3I
， α2I MI
α1I l2I
hI
α3I l1I
α1 Ⅱ
l3 Ⅱ
l2Ⅱ
FI FII
FpI FpII
FGI FGII
FEI FEII
FWI FWII
FI FII
F
密度比尺：
＝
I II
质量比尺：
m＝
mI mII
I VI V II II
13
相似性原理 和量纲分析
力的比尺：
＝
F
FI FII
mIa I mIIa II
ma
122v
力矩（功、 能）比尺：
FI L I FIIL II
gⅠlⅠ
I I
vⅡ2
gⅡ lⅡ
II II
v2
gl
Ar
gl v2
ArⅠ ArⅡ
两个浓差流动达到重力相似，则对应的阿基 米德准数必相等，即必满足阿基米德准则。
相似性原理 和量纲分析
雷诺准则，佛汝德准则,马赫准则，韦伯准则和阿基米德 准则是决定现象的决定性准则；欧拉准则是非决定性准则
。根据 定理，被决定性准则可以用由决定性准则组成的
无量纲量)，解出
i i n 3
5）把 i 代入准则方程，并进行准则标准化，即
f 2 1, 2 , 3 , n3 0
或
i f3 1, 2 ,, n2
[例题5-2] 分析有压管中流动的沿程水头损失。由实际观测知道，管中流 动由于沿程摩擦损失而造成的压强差 p 与下列因素有关：管路直径d，管
ML3
二、无量纲量
1、定义
无量纲量： 不具备量纲的量
[ χ ] ＝ [ L0T0M0 ] ＝ [ 1 ]
2、特点 客观性 不受运动运动规模影响 可进行超越函数计算
相似性原理 和量纲分析
三、量纲和谐定理
相似性原理 和量纲分析
1、含义
凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定 是一致的。
量纲和相似准则分析推导方法大致有四种途径：
①雷利法 ②运动微分方程法
③ 定理法 ④动力相似定义法
相似性原理 和量纲分析
一、应用 定理进行量纲和相似准则分析推导
定理是量纲分析更为普遍的原理，是推导相似准则的
最有效的方法，无论对于多么复杂的物理现象，尽管无法建 立描述它的微分方程式，但只要知道这些现象包含哪些物理 量，就能够通过量纲分析推导出它们的相似准则，从而提供 了找出现象规律的可能性。
影响，各种物理量纲的基本测量单位原则上是任意， 但是一经选定，使用时就必须一致。
2、基本量和基本量纲
相似性原理 和量纲分析
基本量：⑴它们是彼此独立的，可以直接测量其单位的量：
⑵由基本量可导出其他所需要的一切物理量的量；
基本量纲：用[ ]表示这些基本量的量纲。
基本量： 长度、 时间、 质量、温度
基本量纲： [L] [T] [M] [ ]
l2 t
vl
t II
运动黏度比尺
uI
w
I II
lI u II
v l
l II
四 、动力相似
相似性原理 和量纲分析
定义：两个系统中（或在原型流动与模型流动中）对应点对 应时刻受同名力作用方向相同，大小成一定的比例。
两系统动力相似，对应点上的力多边形相似，相应边成 一定的比例。下面分别表示黏性力、压力、重力、弹性力、表 面张力和惯性力，则有
FG l 3 gl 3
ⅠlⅠ2 vⅠ2 Ⅰ gⅠlⅠ3
Ⅱ lⅡ2 vⅡ2 vⅠ2 Ⅱ gⅡ lⅡ3 gⅠlⅠ
vⅡ2 v 2 gⅡ lⅡ gl
Fr v2
gl
F rⅠ
F rⅡ
2v
1
g l
佛汝德准数、佛汝德准 则和重力相似指标式
3、欧拉准数
FpⅠ FpⅡ FlⅠ FlⅡ
相似性原理 和量纲分析
4
d
4)写成准则方程式。
P
2
f
d
,l d
,
d
因为管中流动常用速度水头损失表示，即
p
h f ，又
R dv vd
hf
p
v2 g
f 1 , l , Re d d
公式标准化 ，最后得沿程损失的达西(Darcy)公式为：
hf
f Re, l dd
v2 2g
l
d
v2 2g
FⅠ FⅡ
FpⅠ FpⅡ
FGⅠ FGⅡ
FEⅠ FEⅡ
FWⅠ FWⅡ
FIⅠ FIⅡ
Fv Fp FG FE FW FI
(5-5)
相似性原理 和量纲分析
应用动力相似定义推导相似准则的步骤是：
1) 把式（5-5）第2式写成与惯性力相关联的等式。因为运动， 都会有惯性力，所以把诸力与惯性力相关联，即
相似性原理 和量纲分析
1）考察物理现象，分析确定描述现象的物理量，写出其隐函数式
f a1, a2 , a3 ,an 0
2）从n个物理量中选取m个基本物理量(m个基本物理量必须是决定 性量纲)，在流体力学中m＝3(或4)，由量纲公式有
a1 L1T 1 M 1 1
a2 L2 T 2 M 2 2
Mv
MⅠ
a MⅡ
v 1
a
马赫准数、马赫准则和两 流动弹性力相似指标式
相似性原理 和量纲分析
M 是马赫准数，物理意义是惯性力与弹性力之比值
5、韦伯准数
FIⅠ FIⅡ FWⅠ FWⅡ
相似性原理 和量纲分析
FI l 2v 2 FW l
ⅠlⅠ2vⅠ2 I lⅠ
Ⅱ lⅡ2 vⅡ2 Ⅱ lⅡ
中平均速度v，流体密度 ，流体的动力黏度 ，管路长度 l ，管壁的粗糙
度 。试用量纲分析法求水管中流动的沿程水头损失。
[解] 1)写出压强降 p的表达式，并选择基本量
p f d,, , ,l, 选择 d ,, 作为基本单位，于是
2) 写出各物理量的量纲及 和 i 。
物理量 d
p
l
量纲 L LT 1 ML3 ML1T 2 ML1T 1 L L
FI l 2v 2
FE El 2
ⅠlⅠ2vⅠ2
EI lⅠ2
Ⅱ lⅡ2 vⅡ2
EⅡ lⅡ2
ⅠvⅠ2
EⅠ
Ⅱ vⅡ2
EⅡ
v 2
E
又因为对可压缩流体，音速a
E，因此
1
E a2
故有
vⅠ aⅠ
2
vⅡ aⅡ
2
vⅠ aⅠ
vⅡ aⅡ
v a
Mv
MⅠ
a MⅡ
v 1
a
欧拉准数、欧拉准则和
两流动压力相似指标式
FⅠ FIⅠ FⅡ FIⅡ
FGⅠ FIⅠ FGⅡ FIⅡ
FpⅠ FIⅠ FpⅡ FIⅡ
FEⅠ FIⅠ FEⅡ FIⅡ
FWⅠ FIⅠ FWⅡ FIⅡ
2) 将第一步诸式写成属同一原型和模型流动，求各相似准则。