−T / 2
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
∑ X~(ejω) = ∞ x(n)e−jωn
n=−∞
∑ X~(k
)
=
N
−1
~x (n)e−
j2π N
nk
n=0
(k = −∞ ~ +∞)
－3－
1. 傅立叶级数(FS)
连续周期信号
~x(t) =
~x(t +T )
，Ω0
=
2π
T
∑ ~x(t) =
2π −∞ 时域：连续，非周期
频域：连续，非周期
∫ X ( jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt −∞
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
X (jΩ)
A=5
τ = 0.2 t
Ω
∫∞
存在条件：
x(t) 2dt < ∞
能量信号
−∞
Ω = 2π τ
－9－
FS与FT的区别
∫ FS :
X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
F [X ( jt)] = 2π x(Ω) 由于F [δ (t)] =1 ，根据对称性可得F [1] = 2πδ (Ω) 说明冲激信号的频谱为常数，而直流信号的 频谱为冲激函数。 矩形窗函数的频谱是sinc函数，则sinc函数的 频谱一定是矩形窗函数。
－24－
FT的基本性质
(4) 移位特性： 时移特性：F [x(t ± t0 )] = X ( jΩ)e± jΩt0 信号在时域发生移位后，其频域的幅度谱不 变，相位谱产生附加相移 ±Ωt0 ，(右移取－， 左移取＋)。
例 冲激串序列的傅立叶变换
∞
时域：p(t) = ∑δ(t −nT) n=−∞
p(t)
…
…
0
t
是周期为 T 的函数，将其展开为傅立叶级数：
∫ ∫ P(kΩ0
)
=
1 T
T /2 p(t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
T /2 δ (t)e−jkΩ0tdt = 1
−T / 2
T
∑ ∑ p(t)
－25－
FT的基本性质
频移特性：F [x(t)e± jΩ0t ] = X[ j(Ω m Ω0 )]
F
[ x(t )
cos(Ω0t)]
=
1 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
+
X
(
jΩ
−
jΩ0 )]
F
[ x(t )
sin(Ω0t)]
=
j 2
[X
(
jΩ
+
jΩ0
)
−
X
(
jΩ
−
jΩ0
)]
时域信号乘以正弦信号，则其频谱一分为
周 期 信 号： 可以实现傅立叶级数的分解， 属于功率信号；
非周期信号： 可以实现傅立叶变换， 属于能量信号；
周期信号可否 实现傅立叶变换
在经典数学的意义上是不可实现的， 但在引入了奇异函数后可以实现。
－13－
例 x(t) = cos(Ω0t) ，求其傅立叶变换。
∫ 因为， ∞ x(t) 2dt → ∞ −∞
二，并沿频率轴左右平移 ±Ω0 ，幅度变为原 来的一半。
这种频谱搬移技术常用来实现信号的调制解调。
－26－
FT的基本性质
(5) 尺度变换和反褶特性： F [x(at)] = 1 X ( j Ω)
aa
时域信号波形的压缩( a >1 )，对应于频域频 谱的展宽；时域信号波形的扩展( a <1 )，对 应于频域频谱的压缩。 若 a = −1 ，则 F [x(−t)] = X (−jΩ) ，表明时域 信号反褶，其频谱亦反褶。
的投影。
－19－
典型连续信号的FT
(1) 单个复正弦：
x(t) = ejΩ0t ⇔ X ( jΩ) = 2πδ (Ω − Ω0 ) (2) 实正弦：
x(t) = sin(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = jπ [δ (Ω + Ω0) −δ (Ω − Ω0)]
(3) 实余弦：
x(t) = cos(Ω0t) ⇔ X ( jΩ) = π [δ (Ω + Ω0) +δ (Ω − Ω0)]
信号相乘等效于频域频谱卷积。
x(t) ∗δ (t) = ?
x(t)
x(t) ∗δ (t − t0 ) = ?
x(t − t0 )
－28－
FT的基本性质
(7) 相关定理： x(t), y(t) 为能量信号
∫ Rxy (τ ) =
∞ x(t) y(t +τ )dt
−∞
F [Rxy (τ )] = X ∗( jΩ) ⋅Y ( jΩ)
F [Rxx (τ )] = X ( jΩ) 2
(8) 帕塞瓦定理： x(t) 为能量信号
∫ ∫ ∞ x(t) 2 dt = 1 ∞ X ( jΩ) 2 dΩ
−∞
2π −Laplace 变换的关系
Laplace 变换
∫ X(s) = ∞ x(t)e−stdt s = jΩ −∞
2π −∞
－7－
例 矩形窗(连续非周期)的傅立叶变换：
A x(t)
0
−τ
τ
2
2
A=5
τ = 0.2 t
∫ X ( jΩ) = τ /2 Ae−jΩtdt −τ / 2 = Aτ sin(Ωτ / 2) Ωτ / 2
X (jΩ) Ω
Ω = 2π
τ
－8－
傅立叶变换(FT)
∫ x(t) = 1 ∞ X(jΩ)ejΩtdΩ
所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，
先将其展开为傅立叶级数：
∞
∑ x(t) = X(kΩ0)e−jkΩ0t k=−∞
x(t)
=
cos(Ω0t)
=
1 [ejΩ0t 2
+
e− jΩ0t
]
X
(kΩ0
)
=
1 2
(k =1,
−1)
欧拉公式
－14－
现利用 δ 函数将 x(t) = cos(Ω0t) 作傅立叶变换：
X
(kΩ0
)e
jkΩ0t
⎤ ⎥⎦
e−
jΩt
dt
∑ ∫ =
∞
X (kΩ0 )
∞ −∞
⎡⎣e−
j(Ω−kΩ0
)t
⎤⎦
dt
∑ ∫ k=−∞ ∞
X ( jΩ) = 2π X (kΩ0 )δ (Ω − kΩ0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
k =−∞
可以将 FS 和 FT 统一在 FT 的理论框架下进行
－27－
FT的基本性质
(6) 卷积定理：
∫ x(t) ∗ y(t) = ∞ x(τ ) y(t −τ )dτ −∞
时域卷积：F [x(t) ∗ y(t)] = X ( jΩ)⋅Y ( jΩ)
频域卷积：F
[x(t) ⋅
y(t)] =
1
2π
X ( jΩ) ∗Y ( jΩ)
时域信号卷积等效于频域频谱相乘，时域
=
∞
P(kΩ0 )ejkΩ0t
k =−∞
=
1 T
∞
ejkΩ0t ,
k =−∞
Ω0
=
2π
T
－16－
∑ 冲激串序列： p(t) = 1
∞
ejkΩ0t ,
T k=−∞
傅立叶变换：
Ω0
=
2π
T
∫ ∫ ∑ ∑ P(jΩ) =
∞ p(t)e−jΩtdt =
−∞
∞1 −∞ T
∞
ejkΩ0te−jΩtdt
k=−∞
∫ ∫ X (jΩ) = ∞ x(t)e−jΩtdt = ∞ 1[e−j(Ω−Ω0)t + e−j(Ω+Ω0)t ]dt
−∞
−∞ 2
∫ =πδ(Ω−Ω0) +πδ(Ω+Ω0)
∞e±jΩtdt =2πδ(Ω)
−∞
FS
1/ 2
X (kΩ0 )
1/ 2
−1
FT π
0
1
k
X ( jΩ)
π
−Ω0
0
Ω
Ω0
－15－
− τ 0τ
22
L
Tt
频域：离散，非周期
X (kΩ0 )
Ω0
=
2π
T
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt
−T / 2
k
(Ω0
=
2π
T
)
∫ 存在条件：1 T / 2 ~x (t) 2 dt < ∞ 功率信号
T −T / 2 －6－
2. 傅立叶变换(FT)
周期信号： FS
0
−τ τ
t
22
X (kΩ0 )
X ( jΩ)
k
Ω
Ω = 2π
0T
Ω = 2π τ
－11－
FS与FT的联系
对周期为 T
的信号 x%(t)
的主值区间 [− T , T ] 截取
22
后得到非周期信号 x(t) 。
非周期信号 x(t) 的频谱在形状上与周期信号 x%(t) 频谱的包络线相同。
－12－
FS与FT的联系
∫ X
(kΩ0
)
=
1 T
T /2 ~x (t)e−jkΩ0 tdt