学案7 函数的单调性
一、课前准备： 【自主梳理】
1． 函数单调性的定义：
（1） 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．
如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说
()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的___________________．
如果对于区间I 内的任意两个值1,2x x ，当12x x <时，都有_______________,那么就说
()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的___________________．
（2） 如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说()y f x =在区
间I 上具有___________性，单调增区间或单调减区间统称为____________________．
2.复合函数的单调性：
对于函数()(),y f u u g x ==和如果当(,)(,),()x a b u m n u g x ∈∈=时，且在区间
(,)a b 上和()y f u =在区间(,)m n 上同时具有单调性，则复合函数[()]y f g x =在区间(,)a b 上具有__________，并且具有这样的规律：___________________________．
3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法：
（1）______________； (2)____________________； (3)__________________ ．
【自我检测】
1.函数(,)y kx b k b =+是常数在R 上是减函数，则k 的取值范围是___________．
2.函数2
()1f x x =-在(0,)+∞上是_____函数（填“增”或“减”）． 3.函数1
2y x
=
+的单调区间是_____________________． 4.函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围是________________________．
5.已知函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则2
3(1)()4
f a a f -+与的大小关系是_______ ．
6.函数()f x ___________________．
二、课堂活动： 【例1】填空题：
（1） 若函数()f x 的单调增区间是(2,3)-，则(5)y f x =+的递增区间是
_________．
（2） 函数2y x x =-+的单调减区间是________________． （3） 若1
()-+2
ax f x x +=
∞+在（2，）
上是增函数，则a 的取值范围是_____________． （4） 若(31)4,1
()log ,1a
a x a x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是
_________．
【例2】求证：函数2
()1x
f x x =+在区间[1,)+∞上是减函数．
【例3】已知函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，
()1f x >．
（1） 求证：()f x 是R 上的增函数；
（2） 若(4)5f =，解不等式2
(32)3f m m --<．
课堂小结
三、课后作业 1.函数2
21
y x =
-单调减区间是_________________．
2.若函数2
()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2
上具有单调性，则实数a 的取值范围是______ ．
3.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是_________________________．
4.已知()f x 在(,)-∞+∞内是减函数，,a b R ∈，且0a b +>，设()()A f a f b =+，
()()B f a f b =-+-，则A,B 的大小关系是_________________．
5.若函数+b y ax y x
==-
∞与在（0，）
上都是减函数，则2
(0,)y ax bx =++∞在上是______ ．（填“增函数”或“减函数”） 6.函数
212
()log (43)f x x x =-+-的递减区间是________________．
7.已知函数log (2)a y ax =-在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是_________．
8.已知函数(0)()(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩
满足对任意的12x x ≠，都有
1212()()
0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是_________．
9.
确定函数()f x =
10.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且满足()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，若()(2)2f x f x ++>，求x 的取值范围．
学案7 函数的单调性（答案）
一、课前准备： 【自主梳理】
1.（1）12()()f x f x <，单调增区间，12()()f x f x >，单调减区间， （2）单调，单调区间
2.单调性，同则增异则减
3.（1）定义法 （2）图象法 （3）导函数法
【自我检测】
1.(,0)-∞ 2 .增 3. (,0)-∞和(0,)+∞ 4. (1,)+∞ 5. 2
3
(1)()4
f a a f -+≥ 6.(,1]-∞ 二、课堂活动： 【例1】
（1）(7,2)-- （2）11[,0],[,)22-+∞ （3）1(,)2+∞ (4)11[,)73
【例2】证明：设1212,[1,),x x x x ∈+∞<且
2
2121221122222
1212121222
12(1)(1)
()()11(1)(1)
()(1)
(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x +-+-=-==++++--=
++
121212122
2
121212,[1,),,0,10
(1)(1)0()()0,()()x x x x x x x x x x f x f x f x f x ∈+∞<∴-<-<++>∴->>∴且又，即函数在区间上是减函数
【例3】（1）证明：
12212121211211,0,()1
()[()]()()1()()R x x x x f x x f x f x x x f x f x x f x f x <->∴->∴=+-=+-->∴任取则是上的增函数
（2）解：
2222,(4)2(2)15,(2)3(32)3(32)(2)()432213
a b f f f f m m f m m f f x R m m m ===-=∴=∴--<--<∴--<⇒-<<
取则不等式即为由（1）知在上递增
三、课后作业
1.1
1(,)+22-∞∞和（，） 2.(,2][3,)-∞⋃+∞ 3.1[0,)2
4.A B <
5.减函数
6.(1,2]
7.(1,2)
8. 1(0,]4
9.解：定义域为1(,)2-∞，任取121,(,)2
x x ∈-∞，且12x x <
12()()0
f x f x -=
==
<
12()()
1
()2
f x f x f x ∴<∴∞在（-,）上单调递增
10.解：
()+0020()()()(2)12,(4)2
()(2)2[(2)](4)()+1f x x x x f xy f x f y f x y f f x f x f x x f f x x ∞>⎧∴⇒>⎨+>⎩
=+====++>+>∞∴∴<<-+函数定义域是（0，）①由且取得由得又
在（0，）上递减，x(2+x)<4
②
由①②知，x 的取值范围是。