第二节 机械能自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。

机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。

一、重力势能1．重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。

如图5.28所示，我们分别计算物体m 沿不同路径从1h 高度运动至2h 高度时，重力做的功。

物体沿AB 下落时，有()12AB W mg h h =-。

物体沿AC 下落时，设AC 与水平方向夹角为α，则()cos 90AC AC W mg s α=⋅⋅︒-，因为()21cos 90sin AC AC s s h h αα⋅-=-︒=，因此()12AC W mg h h =-。

可见，AB AC W W =，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。

这个结论可以用来求解沿AD 下降时重力的功AD W 。

将曲线AD 分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为1h ∆，2h ∆，3h ∆，…，则()()12312312AD W mg h mg h mg h mg h h h mg h h =∆+∆+∆+⋅⋅⋅=∆+∆+∆+⋅⋅⋅=-综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用AB W mg h =∆来计算重力做的功，其中h ∆表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则h ∆表示物体的重心在初、末位置的高度差。

2．重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。

这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。

重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。

重力势能的计算公式为p E mgh =，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（J ）。

式中h 是物体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高度h 不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。

但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为m 的物体从房顶落到地面，下落高度为h ∆，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少mg h ∆。

例1 （上海第27届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分a 和b 按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为（ ）。

A ．a 比较大B ．b 比较大C ．一样大D ．无法判断分析与解 a 和b 质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者的重心高度即可。

设原来正方体的边长为h ，则a 的重心高度为4a h h =。

b 的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的距离为13的中线长度，因此b 重心的高度2120.2363b h h h h =⨯==，显然，选项A 正确。

例2 一根质量为m 、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为2m 的小球，如图5.30所示。

由静止释放，当链条刚离开桌面时，重力做功为________，系统重力势能变化量为________。

分析与解 本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来处理。

画出链条刚离开桌面时的位置如图5.31所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于链条中部和底部的两铁球的B ，C 相当于后来的D ，E 位置，其间的链条BC 位置也相当于DE 位置，未发生变化。

整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球A 运动到了最低处F ，以及AB 间的链条运动到了EF 处。

由此，铁球A 下降的高度为L ，链条AB 的重心下降了34L ，则重力做的功为372248mg mg L mgL W L =⨯+=，系统重力势能减少了78mgL 。

二、弹性势能弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都具有弹性势能。

弹性势能用p E 表示，单位是焦耳。

对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力F 与其形变量x 成正比，即F kx =。

利用F x -图像，可以得出弹簧的弹性势能p E 与形变量x 的关系。

如图5.32（a ）所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。

向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。

由于拉力等于弹簧弹力，可画出拉力F 随弹簧形变量x 的关系，如图5.32（b ）所示，当弹簧形变为l 时，图下方三角形的面积即为拉力所做的功：212W kl =，则弹簧的弹性势能为2p 12E kl =，其中k 为弹簧的劲度系数。

三、动能动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即2k 12E mv =，动能的单位是J （焦耳）。

注意动能公式中的“v ”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。

动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。

由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。

例3 某地强风的风速约为20m/s v =，空气密度31.3kg/m ρ=（即体积为31m 的空气质量为1.3kg ），如果把通过横截面积为220m s =的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率的公式P =________，产生的电功率的大小约为________。

分析与解 经过时间t ，有长度为l vt =的空气柱通过截面s ，如图5.33所示，则t 时间内通过截面s 的空气柱体积为V sl svt ==，空气柱的质量m V svt ρρ==，空气柱的动能2k 31122E mv t sv ρ==，由于风的动能全部转化为电能，得电功率3k 12E W P sv t t ρ===，代入数据可得5110W P =⨯。

四、机械能和机械能守恒在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。

机械能是用来表示物体的机械运动状态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。

对于一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往往是动能与重力势能之和。

不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。

当只有重力或者是弹簧的弹力做功时，物体（包括弹簧）的机械能总和保持不变，即机械能守恒。

机械能守恒是指动能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。

在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体之间转化。

例4 如图5.34所示，小球从A 点自由落下，在B 点恰与竖立在地面上的弹簧接触，并在C 点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）。

A ．小球从A 点下落到B 点的过程中，小球机械能守恒B ．小球从A 点下落到C 点的过程中，小球机械能守恒C ．小球在B 点速度达到最大D ．小球在C 点时弹簧的弹性势能小于小球在A 点时的重力势能分析与解 小球从A 点下落到B 点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力势能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒，A 选项正确。

小球从A 到C 的过程中，小球在A 点和在C 点速度均为零，小球减少的重力势能最终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项B 错误。

小球到达B 点时，弹簧还未被压缩，小球在B 点还要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可见，B 点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置（弹力等于重力的位置）应在B ，C 两点之间，选项C 错误。

当小球到达C 点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在A 点时的重力势能转化为弹簧的弹性势能与小球在C 点的重力势能，因此，选项D 正确。

本题正确选项为AD 。

例5 如图5.35所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。

以地面为重力势能零点，则动能恰好与重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为（ ）。

A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°分析与解 木杆在倒地过程中，其机械能守恒。

设木杆质量为m ，长为L ，则木杆初始状态动能为0，重心高度为12L ，重力势能为12mgL ，因此初始状态下的机械能为112E mgL =，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为θ，则其重心高度为1sin 2L θ，重力势能为1sin 2mgL θ，此时的机械能为212sin sin 2E mgL mgL θθ=⨯=。

由杆的机械能守恒，得12E E =，即1sin 2mgL mgL θ=，显然1sin 2θ=，30θ=︒。

选项B 正确。

五、功和能量变化的关系能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。

功和能的关系是：功是能量变化的量度。

1．重力做功和重力势能变化的关系设一个质量为m 的物体，如果初状态时的高度为1h （相对于某一位置），重力势能为1mgh ；末状态时的高度为2h ，重力势能为2mgh ，这一过程中，重力做的功12mg W mgh mgh =-。

由上式可得：（1）若12h h >，表示物体高度下降，重力做正功，12mgh mgh >，即重力势能减少；若12h h <，表示物体高度上升，重力做负功，12mgh mgh <，即重力势能增加。

（2）只要始末位置一定，即1h ，2h 一定，不管经过哪一路径，重力做的功mg W 就是一定的，即重力做功跟路径无关。

2．外力做功和物体动能变化的关系设一个质量为m 的物体，初状态时的速度为1v ，在恒定的外力F 的作用下，发生一段位移s ，F 的方向与速度方向相同，末状态时的速度为2v ，则有外力做的功22211122W Fs mv m ==-，如果物体受几个力，上述结论仍正确，但W 是所有外力对物体做的功的代数和。

上式表示：外力对物体做的功等于物体动能的增量。

这一结论叫做动能定理。

从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。