二次根式的乘除法
二. 重点、难点：
1. 重点：
（1）掌握二次根式乘、除法法则，并会运用法则进行计算；
（2）能够利用二次根式乘、除法法则对根式进行化简；
（3）能够将二次根式化简成“最简二次根式”。

2. 难点：
（1）理解最简二次根式的概念；
（2）能够运用积的算术平方根的性质、二次根式的除法法则将二次根式化简成“最简二次根式”。

三. 知识梳理：
1. 二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；
（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；
（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。

也称“积的算术平方根”。

它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；
（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；
（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。

也称“商的算术平方根”。

它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。

3. 最简二次根式
一个二次根式如果满足下列两个条件：
（1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

说明：
（1）这两个条件必须同时满足，才是最简二次根式；
（2）被开方数若是多项式，需利用因式分解法把它们化成乘积式，再进行化简；
（3）二次根式化简到最后，二次根式不能出现在分母中，即分母中要不含二次根式。

【典型例题】
例1. 求下列式子中有意义的x的取值范围。

（1）
（2）
分析：此题涉及二次根式的乘法、除法公式的正确应用，特别注意公式应用的范围。

（a≥0，b≥0）；==（a≥0，b＞0）。

解：（1）+1≥0，2-≥0。

解得≥-1，≤2，即-1≤≤2。

（2）≥0，3->0。

解得≥0，< 3，即0≤<3。

例2. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用二次根式的乘法进行计算，把它们的被开方数相乘，根指数不变，如果积能开方一定要开方。

解：（1）==；
（2）===6；
（3）===；
（4）===。

例3. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用公式（≥0，≥0）化简即可，尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。

解：（1）===15；
（2）====6；
（3）======20；
（4）===
=。

例4. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：利用（≥0，≥0）对二次根式进行乘法计算，要注意当结果仍然是二次根式时，应尽量化简。

（4）中的隐含条件是≥0，≥0。

解：（1）====；
（2）===；
（3）====-39；
（4）===。

例5. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：利用（≥0，≥0）可把被开方数比较复杂的二次根式化简。

方法是先将被开方数进行质因数分解，化为积的形式，如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，从而达到化简的目的。

解：（1）====；
（2）===；
（3）==
===504；
（4）=
例6. 化简：
（1）（＞0）；（2）（＞0）；
（3）（＞0）；（4）（＞0，＞）。

分析：对于被开方数是多项式的二次根式，应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法进行分解。

为使运算简便，应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算，运算得到的结果必须进行化简。

解：（1）===；
（2）=
==；
（3）===
（4）===。

例7. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：直接运用（≥0，＞0）进行计算，运算后结果要化简。

解：（1）===2；
（2）===3；
（3）===2；
（4）==。

例8. 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：运用公式（≥0，＞0）化简，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

要注意的是，当被开方数是带分数时，要先把它化成假分数。

解：（1）===；
（2）==；
（3）==；
（4）===。

例9. 计算：
（1）；（2）；（3）；（4）。

分析：二次根式的除法可以转化为乘法运算。

对于多个二次根式相除的情况，应按照题中指定的顺序进行计算，有括号的先算括号里面的，没有括号的，从左往右依次计算，结果注意化简，数字应放在字母前面。

解：（1）====；
（2）====
（3）===；
（4）====。

例10. 把下列根号外的因式移到根号内
（1）；（2）。

分析：把根号外的因式内移到根号内，是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内，并与根号内的因数或因式相乘。

解：（1）=
（2）
点拨：因式内移，最容易发生符号错误。

因此内移时，一定要认准非负因数或因式，保证内移时，不改变根式的大小。

如（1）题中被开放数，根号外面的－x也是非负的，内移后根号外应没有负号；
（2）题因为被开方数＞0，所以＞0，所以＜0要把负号留在根号外面。

例11. 去掉下列各式分母中的根号：
分析：（1）分母=，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（2）分母，分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（3）分子、分母同乘即可去掉分母中的根号；（4）将分子分解后，直接与分母约分，从而化去分母．
解：（1）
（2）
（3）
=
（4）
点拨：去掉分母中的根号，通常是分母有理化。

分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法。

当分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分母有理化，待约分后再相机行事。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 填空题：
1. 等式成立的条件是.
2. 计算：（1）；（2）.
（3）；（4）.
3. 化简：（1）＝；（2）.
4. 计算：（1）＝；（2）.
二. 选择题：
5. 把化简的结果应是（）
A. B. C. D.
6. 下列计算中，正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7. 如果，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
三. 解答题：
9. 计算：（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
10. 化简：
（1）（2）
（3）（4）
11. 已知：求的值。

【试题答案】
一. 填空题。

1. ；
2. （1）20；（2）；（3）2；（4）3；
3. （1）；（2）；
4.（1）；（2）；
二. 选择题。

5. B；
6. D；
7. C；
8. B
三. 解答题。

9. （1）；（2）；（3）10；（4）1；（5）；（6）-9.
10. （1）；（2）；（3）；（4）
11. 化简得，代入得2.197。