数学（理工农医类）(答案解析)一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）复数2341i i i i++=- （A ）1122i -- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122i + 解析：选B. ()()()234111111112i i i i i i i i i i i -+++--+-===---+。

（2）“1x <-”是“210x ->”的（A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析：选A. 21011x x x ->⇔><-或，，故“1x <-”是“210x ->”的充分而不必要条件（3）已知21lim 213x ax x x →∞-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，则a = (A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6解析：选D.()()222512161lim lim lim 2133133x x x ax a x ax x ax ax x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎫--+-+--+⎛⎫+=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭,故 263a a =⇒=（4）()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7(C) 8 (D)9解析：选B 。

()13n x +的通项为()13r r r n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =7 （5）下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ (B) 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 3[0,)2(D) [1,2) 解析：选D 。

用图像法解决，将lg y x =的图像关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图像在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图像。

由图像，选项中()f x 是增函数的显然只有D（6）若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（A ）43 (B) 8- (C)1 (D) 23 解析：选A 。

由22()4a b c +-=得22224a b ab c ++-=，由060C =得222421cos 222a b c ab C ab ab +--===，解得43ab = （7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则14y a b =+的最小值是 （A ）72（B ）4 （C ）92（D ）5 解析：选C 。

因为a+b=2，所以141414191452222a b b a y a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ （8）在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（A ）（B ）（C ）（D ）解析：选B ，由题意，AC 为直径，设圆心为F ，则FE BD ⊥,圆的标准方程为()()221310x y -+-=，故()1,3F ，由此，易得：AC =31210EF k -==-，所以直线BD的方程为112y x=-+，F到BD=BD=ABCD的面积为1122AC BD=⨯=g（9的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（A）4（B）2（C）1 （D解析：选C. 设底面中心为G，球心为O，则易得2AG=，于是2OG=，用一个与ABCD所在平面距离等于4的平面去截球，S便为其中一个交点，此平面的中心设为H，则244OH=-=，故2227148SH⎛=-=⎝⎭，故1SG===（10）设m，k为整数，方程220mx kx-+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（A）-8 （B）8（C）12 （D）13解析：选D. 设()22f x mx kx=-+，则方程220mx kx-+=在区间（0,1）内有两个不同的根等价于()()201001280f fkmk m>⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎩，因为()02f=，所以()120f m k=-+>，故抛物线开口向上，于是0m>，02k m<<，令1m=，则由280k m->，得3k≥，则322km>≥，所以m至少为2，但280k m->，故k至少为5，又522km>≥，所以m 至少为3，又由252m k >-=-，所以m 至少为4，……依次类推，发现当6,7m k ==时，,m k 首次满足所有条件，故m k +的最小值为13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上。

（11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= 解析：74. 28463737a a a a a a +=+=+=，故246823774a a a a +++=⨯=（12）已知单位向量,i j c c u r u u r 的夹角为60o ，则2i j c c -=u r u u r。

2i j c c -====u r u u r （13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为解析：1132。

硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为33361152216C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①②的概率显然相同，故①的概率为511116232-= （14）已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin()4απα-的值为解析：2-。

由题设条件易得：sin cos 2αα+=，故)in()sin cos 424s πααα-=-=，()()cos 2sin cos sin cos 4ααααα=+-=-，所以cos 22sin()4απα=-- （15）设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为1。

为使圆C 的半径取到最大值，显然圆心应该在x 轴上且与直线3x =相切，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为()2223x r y r +-+=，将其与22y x =联立得：()222960x r x r +-+-=，令()()2224960r r ∆=---=⎡⎤⎣⎦，并由0r >，得：1r =三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程和清算步骤（16）（本小题满分13分）设()()2,cos sin cos cos 2a R f x x a x x x π⎛⎫∈=-+- ⎪⎝⎭满足()(0)3f f π-=，求函数()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 解析：()22sin cos cos sin sin 2cos 22a f x a x x x x x x =-+=-由()(0)3f f π-=得1122a +=-g ，解得：a =因此()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 当,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 为增函数， 当11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,624x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()f x 为减函数，所以()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()23f π=又因为()4f π=1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()f x 在11,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（17）（本小题满分13分。

（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）某市公租房房屋位于三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A 片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有43种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2242C g 种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为224428327C =g （Ⅱ）ξ的所有可能值为1,2,3.又()4311327p ξ===，()()243422142327C p ξ-===，()234344339C A p ξ=== 综上知，ξ的分布列为：ξ1 2 3 p 127 1427 49从而有1144651232727927E ξ=⨯+⨯+⨯=（18）（本小题满分13分。

（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。

）设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2),f a f b ''==-其中常数,a b R ∈.（Ⅰ）求曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程。

（Ⅱ）设()().x g x f x e -'=求函数()g x 的极值。

解析：（Ⅰ）因()321f x x ax bx =+++，故()232f x x ax b '=++， 令1x =，得()132f a b '=++，由已知()12f a '=，解得3b =-又令2x =，得()2124f a b '=++，由已知()2f b '=-，解得32a =- 因此()323312f x x x x =--+，从而()512f =- 又因为()123f a '==-，故曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()5312y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即6210x y +-= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()2333.x g x x x e -=--，从而有()()239.x g x x x e -'=-+， 令()0g x '=，解得120,3x x ==。

当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，故()g x 在(),0-∞为减函数，当()0,3x ∈时，()0g x '>，故()g x 在()0,3为增函数，当()3,x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在()3,+∞为减函数，从而函数()g x 在10x =处取得极小值()03g =-，在23x =出取得极大值()3315g e -=（19）本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分。