③ 在Y中取一属性A，并求(XA)F+ ：若(XA)F+包 含了R的全部属性，则XA为的一个候选键； ④ 重复③，直到Y中的属性依次取完为止； ⑤ 从Y中除去所有已成为主属性的属性A；
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四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解法 ⑥ 在剩余的属性中依次取两个属性、三个属 性，…，将其记为集合B，并求(XB)F+ ：若 (XB)F+包含了R的全部属性，且自身不包含已 求出的候选键，则XB为R的一个候选键； ⑦ 重复⑥，直到Y中的属性按⑥的组合依次取完 为止； ⑧ 输出候选键，算法结束。
B→C}，求函数依赖集F的闭包F+。(P103)
A→ ， AB→ ， AC→ ， ABC→ ， B→ ， C→
A→ A， AB→ A， AC→ A， ABC→ A， B→ B， C→ C A→ B， AB→ B， AC→ B， ABC→ B， B→ C，
+= A→ C， AB→ C， AC→ C， ABC→ C， B→ BC， F A→ AB， AB→ AB， AC→ AB， ABC→ AB， BC→ ，
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③
F 3=
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3、举例（续四）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
法2：（步骤一：分解规则 ）步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ① F 1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB CGD，CEA,CEG
ABC，CA，BCD， DE，DG，BEC， CGB，CEG
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4、定理5.2 如果Ai(i=1,…,n)是关系模式R的属性,则 XA1A2…An成立的充分必要条件是XAi(i= 1,…,n)均成立。
作用：将一个FD分解成若干个右边是单属性 的FD。用于确定关系的主键。
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二、X关于F的闭包及其计算 例：已知关系模式R(A,B,C)，其函数依赖集为F={A→B，
A→ AC， AB→ AC， AC→ AC， ABC→ AC， BC→ B， A→ BC， AB→ BC， AC→ BC， ABC→ BC， BC→ C， A→ ABC，AB→ ABC，AC→ ABC，ABC→ ABC，BC→ BC，
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1、X关于F的闭包 设 有 关 系 模 式 R(U,F) 和 属 性 集 U={A1,A2,…,An}的子集X。则称所有用阿姆斯特 朗公理从F推导出的函数依赖X→Ai的属性Ai组成 的集合称为X关于F的闭包，记为XF+ ，通常简记 为X+。即 XF+={Ai|用公理从F推出的X→Ai}
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②
F22=
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3、举例（续三）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
步骤三：去掉左端多余的属性
②
F22=
ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG ABC，CA，BCD， CDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
（1）X(0)=X。
（2）从F中找出满足条件VX(i) 的所有函数依赖 V→W，并把所有的V→W中的属性W组成的集合记 为Z；也即从F中找出那些其决定因素是X(i)的子 集的函数依赖，并把由所有这样的依赖的被决 定因素组成的集合记为Z。 （3）若ZX(i)，则转（5）。(当X(i)只决定自己时)
由u、v的任意性，并根据函数依赖的定义， 可得 XY。
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3、 阿姆斯特朗公理的推论
合并规则：若XY且XZ，则XYZ (增广律)
分解规则：若XY，且ZY，则XZ (自反律)
伪传递规则：若XY且WYZ，则WXZ
证： XY 增广律 WX→WY WY→Z
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2、定理5.1
Armstrong公理是正确的。
方法：从函数依赖的定义出发
A1 自反律：若YX，则XY (增广律,传递律证明类 似,P104)
证：设u、v为r的任意两个元组。
若u[X]=v[X]，则u和v在X的任何子集上必然 相等。
由条件YX ，所以有：u[Y]=v[Y]，
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②
F21=
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3、举例（续二）
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
(步骤二：去掉F中冗余的函数依赖 ）
② F21=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG ， BEC ， CGD ， CEA,CEG ABC，CA，BCD， ACDB，DE，DG， BEC，CGD，CEG
对比
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F+和X+
集合元素
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2、定理5.3
设有关系模式R(U，F)，U={A1,A2,…,An}是R 的属性集，F是R的属性集U上的函数依赖集，X、 Y是U的子集，则
XY能用Armstrong公理从F导出YX＋。 该定理把判定XY是否能由F根据Armstrong 公理导出的问题
Z=EG
BD=X(0)
(1)X（0）=BD。({B}、{D}、{B，D}） X＋ 、 {D} 、 （ 1 ） =BDEG （ {B} =ABCDEG {E} 、 {G} 、 {B 、 (2)X D}…2n-1个子集) ＋，故BD→A成立 A∈BD (3)X（2）=BCDEG
(4)X（3）=ABCDEG
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步骤三：去掉左端多余的属性
②
F21=
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四、候选键的求解方法 1、属性分类 对于给定的关系R（U）和函数依赖集F，可 将其属性分为4类：
① L类：仅出现在F的函数依赖左部的属性；
② R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性；
③ N类：在F的FD左右两边均未出现的属性；
④ LR类：在F的FD左右两边均出现的属性。
（5）若X是R的N类属性和L类属性组成的属性集，且X＋ 包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选键。
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四、候选键的求解方法 3、候选键的一般求解方法 ① 将所有属性分为L、R、N和LR四类，并令X代 表L和N类，Y代表LR类；
② 求XF+：若XF+包含了R的全部属性，则X是R的 唯一候选键，转⑧；
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3、举例
例5.5：求函数依赖集F的最小函数依赖集
ABC，CA，BCD， F= ACDB，DEG，BEC， CGBD，CEAG 法1：（步骤一：分解规则 ） ① F1=
ABC，CA，BCD，ACDB, DE,DG，BEC，CGB ， CGD，CEA,CEG
第2讲 函数依赖的公理体系
授课人： 李朔 Email:chn.nj.ls@
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主要内容
阿姆斯特朗公理及推论
X关于F的闭包及其计算




最小函数依赖集
候选键的求解方法
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一、阿姆斯特朗公理及推论 问题引入：
F=X→Y F+ 侯选键 X→Y在R 中是否成立
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求解方法（续二）
（3）去掉左端多余的属性
对于F中左端是非单属性的函数依赖 （XYA），假设要判断Y是否是多余的属性
① G = (F-{XYA})∪{XA}；
② 求X关于F的闭包XF+；
③ 如果A不属于XF+ ，则XA不在F+ 中，说明Y 不是多余的属性，接着判别X是否是多余的属性； 如果A属于XF+，则说明Y是多余的属性，F=G。
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1、函数依赖集的等价与覆盖 定义5.5 设F和G是两个函数依赖集，如果F＋＝G＋，则 称F和G等价。如果F和G等价，则称F覆盖G，同 时也称G覆盖F。
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定理
定理5.4 F＋＝G＋的充要条件是FG＋和GF＋。
所 有
F
F ＋= G ＋
求出X＋，判定Y是否为X＋的子集的问题。
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3、X关于F的闭包X＋的计算 算法5.1 求属性集X关于函数依赖集F的闭包X＋ 输入： 关系模式R的全部属性集U,U上的函数依赖集 F，U的子集X。 输出：
X关于F的闭包X＋。
计算方法：
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3、X关于F的闭包X＋的计算（续）
③ 对F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，
(F-{XA})∪{ZA}不等价于F。
每个FD左端无多余的属性
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求解方法 （1）用分解规则将F中的所有函数依赖分解成右 端为单个属性的函数依赖； Armstrong公理的推论 分解规则：若XY，且ZY，则XZ
传递律
WX→Z
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例5.2简化版 P105 对关系模式R(A,B,C),依赖集F={C->A,AB->C}, 候选键为AB和CB,证明BC->ABC.
证明:已知有C->A,由增广律可得BC->AB,
又已知AB->C,由增广律可得AB->ABC
综上由传递律可得 BC->ABC
X→Y

G＋
F＋ (G＋)+
FG＋,
FG＋ GF＋
定理意义:P107 不计算F+与G+,对于F(或G)中 每个X->Y,只通过求Xg+中是否 包含Y来判断FG＋, XF+来判断GF