习题三
（A ）
1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵：
(1) 112332141022-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）111113
1320461135-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）2451212211
1212136363--⎛
⎫
⎪
-- ⎪=
⎪
-- ⎪---⎝⎭
2.设A 123012425⎛
⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010(1,2)100001⎛
⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E ，100(3,2(5))010051⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
E .
试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A .
3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵：
(1) A 101110012⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ （2）A 211124347--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）A
1111022200330004⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
4.用初等变换解下列矩阵方程：
(1) 设A 101110120⎛
⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，102102-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
B ，且AX =B ，求X .
（2）设A 220213010⎛
⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，且+AX =A X ，求X .
5.设矩阵A 122324111222-⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，计算A 的全部三阶子式，并求()R A .
6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明.
7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明.
8.求下列矩阵A 的秩：
(1) 310211311344⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（2
）1121224230610304-⎛⎫ ⎪- ⎪=
⎪- ⎪-⎝⎭（3）1221
12480
22423336064--⎛
⎫
⎪
-
⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭
(4) 112205123λλλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ (5)
111
111λ
λλ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
9. 设有矩阵A
10111
01121
1102
2264
μ
μ
-
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
，若()3
R=
A，求μ的值.
10.判断下列命题是否正确．
(1) 如果线性方程组AX=0只有零解，那么线性方程组AX=B有唯一解；
(2) 如果线性方程组AX=B有唯一解，那么线性方程组AX=0只有零解．11. 解下列齐次线性方程组：
（1）
123
123
123
2550
230
3570
x x x
x x x
x x x
+-=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪+-=
⎩
（2）
1234
1234
1234
220
2220
430
x x x x
x x x x
x x x x
+++=
⎧
⎪
+--=
⎨
⎪---=
⎩
（3）
3
124
3
124
3
124
3
124
2530
420
4760
23950
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
-+-=
⎧
⎪-+-=
⎪
⎨
-+-+=
⎪
⎪-+-=
⎩
（4）
3
124
3
124
124
3
124
2350
240
3470
45530
x
x x x
x
x x x
x x x
x
x x x
-+-+=
⎧
⎪-+-=
⎪
⎨
--=
⎪
⎪-+-=
⎩
12. 解下列非齐次线性方程组：
（1）
123
123
123
34
332
2323
x x x
x x x
x x x
-+=
⎧
⎪
+-=-
⎨
⎪-+-=-
⎩
（2）
1234
1234
1234
4322
233
3244
x x x x
x x x x
x x x x
+-+=
⎧
⎪
++-=-
⎨
⎪---+=
⎩
（3）
3
124
3
124
3
124
3
124
2353
244
3473
3749
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
+++=
⎧
⎪++-=
⎪
⎨
+++=
⎪
⎪++-=
⎩
（4）
3
12
3
12
3
12
3
12
245
234
38214
496
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
-+=-
⎧
⎪++=
⎪
⎨
+-=
⎪
⎪-+=-
⎩
13. 确定λ的值，使下列齐次线性方程组有非零解，并求其一般解．
（1）
123
123
123
x x x
x x x
x x x
λ
λ
λ
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
（2）
123
123
123
240
3560
20
x x x
x x x
x x x
-+=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩λ
14.讨论下列非齐次线性方程组，当λ取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出一般解:
（1）
123
123
2
123
1
x x x
x x x
x x x
λ
λλ
λλ
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
（2）
2
123
123
123
1
342
2321
x x x
x x x
x x x
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪+-=
⎩
λ
λ
15. 设有方程组
11
2
22
3
33
4
44
5
55
1
x a
x
x a
x
x a
x
x a
x
x a
x
-=
⎧
⎪-=
⎪⎪
-=
⎨
⎪-=
⎪
-=
⎪⎩
，证明方程组有解的充分必要条件是
5
1
i
i
a
=
=
∑.
（B ）
1.设A 是n 阶可逆阵，互换A 的第i 行与第j 行（i j ≠）得到矩阵B ，求1-AB .
2. （研2007数一、二、三）设矩阵0100001000010000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，则3A 的秩为___ ____. 3. （研2010数一）设A 为m n ⨯型矩阵，
B 为n m ⨯型矩阵，若AB =E ，则正确的是（ ）
(A) ()R m =A ，()R m =B (B) ()R m =A ，()R n =B
(C) ()R n =A ，()R m =B (D) ()R n =A ，()R n =B
4. （研2015数一、二、三）设矩阵A 21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
b .若集合={1,2}Ω，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件是（ ）
(A) a ∉Ω，d ∉Ω (B) a ∉Ω，d ∈Ω (C) a ∈Ω，d ∉Ω (D) a ∈Ω，d ∈Ω
5. （研2016数二、三）设矩阵111111a a a --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭与110011101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
等价，则a =____ ____.
6.证明：()()R R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
A O A
B O B . 7.设A ，B 是n 阶非零矩阵，证明：若=AB O ，则()R n <A 及()R n <B .
8.设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m <.证明：||0=AB .。