• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1

0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t

0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
sin( 2w1t )
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数： S N (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn c0
c1
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 f (t ) f (t ) 2
2 n 2 n
a0 0
n为偶，an bn 0
1 4 T n为奇，an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0 1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
1 c0 a0 0, cn a ＋b , Fn cn 2 b n arctg n an
例如：周期锯齿波信号
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
1 4 T bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0 1 c0 a0 0, cn bn , Fn F n bn 2j
n 90
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项，
0
E 2
t
其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为纯虚函数。
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值； t0 T1 f (t ) dt 一周期内绝对可积， t 0
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波
2 通常把频率为： f1 T1 称为基波。 w1 2 频率为：2 f1 2T1 2 称为二次谐波。 w1 2 称为三次谐波。 频率为： 3 f1 3T1 3 w1
0
E 2
2E
t
cos( w1t )

从上面例子看出： （1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。 (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿； 低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量 愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波 形一般要发生失真。

T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0

f (t ) －f (t )
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1
n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）
Fn
nw1
w1 0 w1
n
w
幅度谱与相位谱合并
c0 1 c 1 21 c2 2
五、吉布斯（Gibbs）现象
第二节 周期信号的傅里 叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 T1 , 角频率1 ） T1
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为： 0 ~ T1或 ~ 2 2
三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t) 展开为常用形式
f (t ) c0 cn cos(n1t n ) 或
n 1
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
2

n
F

2
n
帕塞瓦尔定理
时域与频域的能量守恒： 任意周期信号f(t)的平均功率 P 等于其傅里叶级数展开式中 各谐波分量有效值的平方和
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系
1.函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实 函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶 级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比 较简单。 波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
jn

3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱
2.傅里叶级数的系数求解
(1)偶函数信号
1 4 T 1)偶函数信号：an 2 f (t ) cos(n1t )dt T1 0
f (t )
f ( t ) bn 0
例如：周期三角波信号
an cn an , Fn F n 2 n 0
f (t )
E
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项， 其傅里叶级数指数展开式中 F ( n1 )为实函数。
是一奇函数
其傅里叶级数表达式为：
E 1 1 f (t ) sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
t
只取基 波分量 一项
0
E 2
t
2E cos( w1t )
T1 4
f (t )
T1 4
取基波分量和 三次谐波分量
2E
f (t )
cos( w1t )
T1 4 T1 4

取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
0
E 2
t
2E cos(5w1t ) 5
2E cos(3w1t ) 3
第三章
连续信号的频谱——傅里叶变换
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
n 1 N
1 t0 T1 2 方均误差：En (t ) N (t )dt T1 t0
2 N
其中 N (t ) f (t ) S N (t ) (为逼近f(t)的误差函数）
例子