T
1 − 1 4 例３ 设 a 1 = 2 , a 2 = 3 , a 3 = − 1 , 试用施密 − 1 1 0 特正交化过程把这组向 量规范正交化 . 解： 取 b1 = a1 ; − 1 1 − 1 4 5 [a 2 , b1] 3 − 2 = 1 ; b2 = a 2 − 2 b1 = b1 1 6 − 1 3 1 [a 3 , b1] [a 3 , b2] − b3 = a 3 − 2 b1 2 b2 b1 b2
[ξ 1 ,ξ 2] ξ 1. a2 = ξ 1 , a3 = ξ 2 − [ξ 1 ,ξ 1]
其中[ξ 1 ,ξ 2] = 1,[ξ 1 ,ξ 1] = 2, 于是得
1 0 1 1 a2 = 0 , a3 = 1 − 0 = − 1 − 1 2 − 1
[α , β ] (2 ) 当 α ≠ 0, β ≠ 0时 ,θ = arccos
α β
例1 求向量 α = (1,2,2,3 )与 β = (3,1,5,1)的夹角 .
α ⋅ β = 18 = 2 解: Q cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法 （一）正交向量组的概念 定义5.7: 定义5.7: 正交的概念
那么 β 1 ,L, β s两两正交 , 且β 1 ,L, β s与α1 ,Lα s 等价 .
规范化)， （2）单位化 规范化 ，取 ）单位化(规范化
β1 β2 βs e1 = , e2 = , LL , es = , β1 β2 βs
那么 e1 , e2 ,L, e s为R n的一个单位 (规范 )正交向量组 .
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 − 14 T (0,−2,−1,3)T= (1,1,−2,0)T = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14 单位化， 再单位化， 得规范正交向量组如下
[α , β ] = α T β .
内积的运算性质
(其中α , β , γ 为n维向量 , k为实数 ) :
(1) ( 2) ( 3)
[α , β ] = [β ,α ] ; [kα , β ] = k [α , β ]; [α + β , γ ] = [α , γ ] + [β , γ ];
(4)[α ,α ] ≥ 0, 且当α ≠ 0时有[α ,α ] > 0. [α 当且仅当 α＝0时， ,α ]＝α α＝0
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
以 a T 左乘上式两端 ,由于 α iT α j = 0 ( i ≠ j ) i
所以： 所以： kiα i α i = 0
T
由 αi ≠ 0 ⇒ αi αi = αi
T
2
≠ 0, 从而有 ki = 0 (0 ≤ i ≤ r ).
故α 1 ,α 2 ,L,α r 线性无关 .
a1 = (1,1,1,1)T , a2 = (1,−1,0,4)T , a3 = ( 3,5,1,−1)T 正交规范化. 正交规范化
正交化， 解: 先正交化， 取 T b1 = a1 = (1,1,1,1) [b1 , a2 ] b b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1 1−1+ 4 (1,−1,0,4) − (1,1,1,1)T= (0,−2,−1,3)T = 1+1+1+1
, a 3 应满足方程 aT x = 0,即 1 解： a 2 x1 + x 2 + x 3 = 0.
它的基础解系为 1 0 ξ 1 = 0 ,ξ 2 = 1 . − 1 − 1
把基础解系正交化，即合所求． 把基础解系正交化，即合所求．亦即取
第三节 实对称矩阵的特征值和特征向量
一、向量内积的定义及性质 定义5.5 设有n 定义5.5 设有 维向量 a1 b1 a2 , β = b2 , α= M M a b n n 令 [α , β ] = a1b1 + a2b2 + L + anbn 引例1.doc 引例1.doc
由于 β 1 ⊥ β 2 , 故 c 3 等于α 3 分别在 β 1 , β 2 上的投影 向量 c 31 及 c 32 之和, 即
[α 3 , β 1]
几 何
解
释
β
2
a2
c3 = c31 + c32 =
β1
2
β1+
[α 3 , β 2]
β2
2
β 2,
β 3 = α 3 − c3 .
1 例４： 已知 a 1 = 1 , 求一组非零向量 a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交 .
β3 β 1 = a1 ; a3 c2 为α 2 在 β 1 上的投影向量 , 即 c32 β 1 ] β 1 = [α 2 , β 1] , c2 = [α 2 , 2 β1 β1 β1 β1 c31 β 2 = α 2 − c2 ; c3 c2 为α 3 在平行于 β 1 , β 2 的 c3 平面上的投影向量 , a1 β1
如果 α = ( a 1 , a 2 , L , a n )T , β = ( b1 , b2 , L , bn )T 上面的不等式可写为： 上面的不等式可写为：
∑ i =1
n
a i bi ≤
∑ i =1
n
a i2 ⋅
∑ i =1
n
bi2
这一不等式称为柯西－布涅夫斯基不等式， 这一不等式称为柯西－布涅夫斯基不等式，它说明 R n 中的任意两个向量的内积与它们长度之间的关系。 中的任意两个向量的内积与它们长度之间的关系。 单位向量： 长度为1的向量称为单位向量 的向量称为单位向量， 单位向量： 长度为 的向量称为单位向量，对于 R n 中的任 一非零向量 α ,
上述正交化方法亦可这样表述： 上述正交化方法亦可这样表述： 取： = α β1 1
β 2 = α 2 − (α 2 , e1 )e1
β 3 = α 3 − (α 3 , e1 )e1 − (α 3 , e2 )e2
M
β1 e1 = β1 β2 e2 = β2 β3 e3 = β3
称 [α , β ]为向量 α 与 β 的 内积 .
说明: 说明 1. n(n ≥ 4 ) 维向量的内积是 维向量数量积 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 的推广，但是没有 维向量直观的几何意义．
2. 内积是向量的一种运算 , 如果 α , β 都是列 向量 ,内积可用矩阵记号表示 为 :
（二）向量组正交化方法
如果已知 R n中的线性无关向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α s , 则可以由此生成正交向 量组 β 1 , β 2 ,L , β s，并使这 性表示。 两个向量组可以互相线 性表示。这一过程称为 将 向量组正交化。 向量组正交化。正交化 的方法采用施密特正交 化
方法， 方法，现介绍其基本步 骤。 设 α 1 , α 2 ,L ,α s为 R 中的线性无关向量组
T
二、向量的长度及性质
2 2 α = [α ,α ] = a12 + a2 + L + an , 定义5.6 定义5.6 令 称 α 为 n 维向量 α 的长度 (或范数 ).
(在 R 中向量 α 的长度就是对应点到原点的距离 在 的长度就是对应点到原点的距离)
2
向量的长度具有下述性质： 向量的Байду номын сангаас度具有下述性质：
n
（1）正交化，取 β 1 = α1 ， ）正交化， [α 2 , β 1 ] β , β2 = α2 − [β 1 , β 1 ] 1
引例2.doc 引例2.doc
[α 3 , β 1 ] [α 3 , β 2 ] β3 = α3 − β1 − β2 [β1 , β1 ] [β 2 , β 2 ]
α 1 α 是一个单位向量。 是一个单位向量。 （ ＝ ⋅ α ＝1 ) α α α
向量单位化：向量用向量的长度去除， 向量单位化：向量用向量的长度去除，就得到一个单位 向量。 向量。
n 单位向量及 维向量间的夹角
(1) 当 α = 1 时 , 称 α 为 单位向量 .
称为 n 维向量 α 与 β 的 夹角 .
b1 1 T 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , b1 2 2 2 2 2 T b2 1 T − 2 −1 3 ( 0 , − 2 , − 1, 3 ) = 0 , e2 = , , = b2 14 14 14 14 T b3 1 T 1 1 −2 (1,1,− 2 ,0 ) = , , ,0 e3 = = 6 b3 6 6 6
互相正交。 当[α , β ] = 0, 即α T β = 0 时, 称向量 α与β 互相正交。
由定义知 , 若 α = 0, 则 α 与任何向量都正交 .
定义5.8: 定义5.8: 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，即：
α iTα j = 0 ( i ≠ j; i , j = 1,2,L, n)
1. 非负性
当α ≠ 0 时, α > 0;当α = 0 时, α = 0;
2. 齐次性 kα = k α ; 3. 三角不等式 α + β ≤ α + β .